L Mat 1 Sec SH - VSIP.INFO (2023)

El libro Matemáticas 1, del Proyecto SABER HACER, del Primer Ciclo de la Educación Secundaria es una obra colectiva creada, concebida y diseñada por el equipo de investigaciones pedagógicas de Editorial Santillana, S. A., en la República Dominicana, bajo la dirección editorial de CLAUDIA LLIBRE. Su creación y desarrollo ha estado a cargo del siguiente equipo: Texto: Andrés Molina Moloon. Ilustración: Ruddy Núñez, José Amado Polanco, Tulio Matos y Guillermo Pérez Fotografía: www.istockphoto.com y Archivo Santillana Equipo técnico: • Corrección de estilo: Andrés Blanco Díaz, Gisela Vargas Ortega y Luis Beiro Álvarez • Diseño gráfico: Joaquín Mota y María Cristina Brito Matos • Separación de color: José Morales Peralta y César Matías Peguero Director de Arte y Producción: Moisés Kelly Santana Subdirectora de Dirección de Arte: Lilian Salcedo Fernández Editor: Andrés Molina Moloon.

Este libro ha sido realizado de conformidad con el currículum vigente y ha sido sometido a la aprobación del MINERD.

Primera edición 2017 ©2017 by Santillana, S. A. Editado por Santillana, S. A. Calle Juan Sánchez Ramírez No. 9, Gascue. Apartado Postal: 11-253 • Santo Domingo, República Dominicana. Tels. (809) 682-1382 / 689-7749. Fax: (809) 689-1022 Web site: www.santillana.com.do

Registro Industrial:58-347 ISBN:………………… Impreso por ……………………… Impreso en República Dominicana Printed in Dominican Republic

Depositado de conformidad con la Ley. Queda rigurosamente prohibida, sin autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

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Índice

CONTENIDOS

UNIDADES DIDÁCTICAS

Los números enteros. Operaciones

Los números enteros.

Adición de números enteros.

Sustracción de números enteros.

Los números recionales. Orden.

Fracción generatriz de un número decimal.

Adición y sustracción de números racionales.

Proporciones.

Proporcionalidad directa.

Proporcionalidad inversa.

Rectas paralelas y perpendiculares.

Construcciones con regla y compás.

Ángulos. Complemento y suplemento de un ángulo.

Medidas angulares.

Transformaciones de medidas angulares.

Medidas de peso, masa y capacidad.

Los números racionales. Operaciones 48

Variación proporcional

Elementos de Geometría. Ángulos 64

Medidas 84

PROYECTO I

100

Matemáticas, mezclas y aleaciones.

UNIDAD DE APRENDIZAJE A

102

Las medidas en la historia.

UNIDADES DIDÁCTICAS

Polígonos. Construcciones geométricas

Concepto de polígono. Clasificación.

Construcción de polígonos, I.

Construcción de polígonos, II.

Poliedros.

Prismas y pirámides.

Área de poliedros.

El cubo, el paralelepípedo y la pirámide.

Prismas y pirámides regulares.

Cuerpos redondos.

Población y muestra.

Gráfica de barras y poligonales.

Agrupación de datos.

Experimentos deterministas y aleatorios.

Cálculo de probabilidades.

Formas decimal y porcentual de las probabilidades.

110

Cuerpos geométricos. Área 124

Cuerpos geométricos. Volumen 140

Recolección y análisis de datos 154

Probabilidades 174

PROYECTO II

198

UNIDAD DE APRENDIZAJE B

206

190 192

Un extraño número llamado fi. Las matemáticas de la vida.

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

CONTENIDOS

EVALUACIÓN

Multiplicación de números enteros..

Potenciación de números enteros.

Radicación de números enteros..

Resolución de problemas.

Casos para resolver.

Multiplicación y división de números recionales.

Potenciación de números racionales. Notación científica.

Radicación.

Competencia científica y tecnológica.

Casos para resolver.

Problemas de proporcionalidad.

Porcentajes.

Interés simple.

Competencia científica y tecnológica.

Casos para resolver.

Ángulos entre rectas paralelas y una secante.

Plano cartesiano. Coordenadas de un punto.

Distancia entre dos puntos del plano.

Resolución de problemas.

Casos para resolver.

Medidas del tiempo.

Medidas de temperatura.

Resolución de problemas.

Debate.

Resolución de problemas.

Perímetro y área de polígonos.

Áreas de cuerpos redondos.

Proyecciones ortogonales.

Simetría de los cuerpos geométricos.

Gráfica circular.

Medidas de tendencia central y valores medios de datos agrupados.

Experimentos aleatorios simples y compuestos.

Operaciones con eventos aleatorios.

Medidas de dispersión

Resolución de problemas.

Debate.

Resolución de problemas.

Debate.

Resolución de problemas.

Casos para resolver.

Resolución de problemas.

Casos para resolver.

Puesta en común Resolución de problemas.

Esquema de la unidad didáctica

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas.

Páginas de apertura Imagen con sentido pedagógico que moviliza el interés y las expectativas de los estudiantes.

Punto de partida. Texto sobre situación o planteamiento que contextualiza el tema de la unidad.

Observación. Para desarrollar las habilidades de observación y descripción de imágenes y del entorno y establecer relaciones con el tema de la unidad.

Listado de contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales que sirven para planificar el trabajo con la unidad.

Recuperación de conocimientos. Para pensar y recuperar conocimientos y experiencias previas sobre el tema de unidad.

Páginas de información y actividades

Recuperación. de conocimientos previos para cada tema.

Indicadores de logro que permiten medir o evaluar el aprendizaje logrado.

Programas especiales para reforzar y ampliar sus conocimientos y destrezas.

Texto introductorio que ayudará a contextualizar el tema.

Ejemplos resueltos para facilitar la comprensión del tema.

Actividades de control con la finalidad de observar el progreso en el dominio de los conceptos y los procedimientos.

Actividades para que descubras lo que aprendiste

Actividades para demostrar los conocimientos aprendidos.

Actividades para poner en práctica las estrategias de evaluación, promover aprendizajes en función de las competencias fundamentales e identificar los logros alcanzados.

Espacio para medir cuánto han aprendido, basándose en los indicadores de logro correspondientes.

Esquema de la unidad de aprendizaje y proyectos

Unidad de Aprendizaje Letra correspondiente a la unidad: Las unidades de aprendizaje se identifican con color azul.

Situación de aprendizaje. Plantea situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana, que orienta y contextualiza la enseñanza y lleva a reflexionar, tomar decisiones y actuar, promoviendo así el desarrollo de saberes y competencias que servirán de base en la construcción de aprendizajes significativos.

Indicadores de logro que permiten medir o evaluar el aprendizaje logrado.

Páginas de información y actividades para poner en práctica las estrategias de evaluación, promover aprendizajes en función de las competencias fundamentales e identificar los logros alcanzados.

Aprendizaje autónomo. Espacio para medir cuánto han aprendido basándose en los indicadores de logro.

Proyectos

En ellos se desarrollan diversas competencias matemáticas, la autonomía, la creatividad y el aprendizaje colaborativo, con actividades relacionadas con la vida cotidiana y temas de articulación con otras áreas, que deben seguirse con rigurosidad y con la ayuda de los padres o tutores y el docente. Estas actividades implican un grado de elaboración elevado, requieren de una investigación documental o experimental.

Los números enteros. Operaciones

Punto de partida La mamá de Carlos tenía un sobregiro en el estado de su cuenta bancaria. Había gastado más de lo que tenía en sus fondos, y esto significa una deuda con el banco. El sobregiro aparecía en la columna de los balances con un signo menos (–). De inmediato, procedió a depositar fondos para eliminar la deuda. Carlos, que había estado junto a su mamá cuando recibió el balance, se preguntó a sí mismo: ¿Siempre que haya una deuda por sobregiro, aparecerá el signo menos? ¿De dónde sale este signo?

Conceptos y procedimientos Los números enteros. La representación de los

números enteros en una recta numérica. El valor absoluto de un

número entero. Las operaciones con nú-

meros enteros y sus propiedades. Las operaciones combina-

das con números enteros. Las operaciones enteras.

¿Qué operación aritmética asocias

con el signo menos (–)? ¿Por qué los sobregiros aparecen

con un signo menos? Si se aceptan números con signo

menos, ¿tiene algún sentido una diferencia como 75 – 100?

Actitudes y valores Valorar el gasto

responsable. Apreciar el espíritu de in-

vestigación y búsqueda.

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Qué son los números naturales? ¿Qué propiedades tienen los números naturales? ¿La adición o multiplicación de dos números naturales cua-

lesquiera, da como resultado un número natural? ¿Con qué otra clase de números has trabajado hasta ahora?

OBSERVACIÓN ¿Has visto alguna vez un estado de cuentas bancario? ¿Qué significado tienen los términos débito, crédito y balance? ¿Qué operaciones aritméticas están presentes en un crédito

y en un débito? ¿Qué importancia tiene para el cliente revisar sus estados bancarios?

LOS NÚMEROS ENTEROS

1 Los números enteros

RECUPERACIÓN ¿Has visto cómo se muestran en los ascensores los pisos superiores y los soterrados, cuando los hay? ¿Cómo sabes cuándo se está representando un piso sobre el suelo y un piso soterrado?

Entre los geógrafos y topógrafos es usual representar accidentes geográficos mediante curvas de nivel. Las elevaciones se representan en las curvas de nivel con un signo más (+), indicando con este signo que se está sobre el nivel de la costa, que se toma como 0. 650 600

300

650 Costa

600 300 0 (Costa)

Para las depresiones terrestres o el relieve submarino, los números que acompañan a las curvas de nivel se toman con un signo menos (–), que indica que se está por debajo del nivel de la costa.

Costa

– 200

MÁS INFORMACIÓN – 320

Números naturales y enteros Los números naturales N están incluidos en el conjunto de los números enteros, Z.

– 300

– 300 – 200 0 (Costa)

Z N

Los números enteros positivos (números naturales), el cero y los enteros negativos forman el conjunto de los números enteros, que se representa con la letra Z. Z = {… …, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, … …}.

Todo número natural es un número entero positivo. Por razones de simplicidad, el signo + suele omitirse: + 5 = 5 ; + 12 = 12.

El cero, 0, es el número que separa a los números enteros positivos y los números enteros negativos. El cero carece de signo. Sobre la recta numérica, los enteros positivos aparecerán a la derecha del 0 y los enteros negativos a la izquierda del 0.

Identifica, representa y ordena números enteros.

2 Números enteros opuestos. Valor absoluto Dos números enteros distintos son opuestos, si están a la misma distancia del cero. Los enteros opuestos tienen signos contrarios.

EJEMPLOS: + 10 y – 10 son opuestos.

– 35 y + 35 son opuestos.

En relación con la adición, al opuesto de un número se le llama su inverso aditivo. El valor absoluto de un número entero x es su distancia al 0. Este es siempre positivo y se representa |x|. Por razones de simplicidad |x| se escribe sin el signo positivo. –8

0 |–8|=+8=8

Las alturas respecto al nivel del mar, las temperaturas por encima del punto de congelación del agua, los depósitos bancarios y los movimientos hacia la derecha se asocian a números positivos. Las depresiones respecto al nivel del mar, las temperaturas por debajo del punto de congelación del agua, las deudas y los movimientos hacia la izquierda, se asocian a números negativos.

+5 |x|=+5=5

3 Relaciones de orden entre los enteros

Dados dos números enteros cualesquiera, x e y, siempre es posible saber si x es menor, igual o mayor que y: x < y, x = y o x > y (Ley de la tricotomía). Si se representan los números enteros x e y en una recta numérica, el número situado a la derecha es mayor que el situado a la izquierda. Z 0 x y>x

Z x

y 0 y>x

ACTIVIDADES 1 Escribe el número positivo o negativo que corresponde a cada afirmación.

• En Jarabacoa se registró ayer una temperatura de 15 ºC sobre cero.

+ 15

• El lago Enriquillo está a 40 metros por debajo del nivel del mar.

– 40

• El vehículo se desplazó 30 km hacia la derecha.

+ 30

• Marcos debe RD$ 25 a la cafetería del colegio.

– 25

• Se han descubierto organismos vivos a casi 15 km bajo tierra.

– 15

2 Representa en una recta numérica los números enteros anteriores.

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

RECUPERACIÓN Un termómetro marca una temperatura inicial de 27 ºC. Sube 3 ºC y luego baja 5 ºC.

1 Adición de números enteros del mismo signo

Observa la manera en que cambió la temperatura del termómetro digital. Aumenta 20 ºC

¿Qué temperatura final se lee en el termómetro? ¿Qué procedimiento seguiste para averiguarlo?

+ 20 ºC Inicialmente el termómetro marcaba una temperatura de + 30 ºC. Si la temperatura aumenta 20 ºC, el termómetro acabará marcando una temperatura de + 50 ºC. La temperatura final marcada por el termómetro, + 50 ºC, es la adición de la temperatura inicial, + 30 ºC y el aumento de temperatura, + 20 ºC: (+ 30 ºC) + (+ 20 ºC) = + 50 ºC. La adición de dos números enteros positivos es la suma de los valores absolutos de dichos números.

Fíjate ahora cómo cambió la temperatura del termómetro. Disminuye 5 ºC

– 5 ºC Inicialmente, el termómetro marcaba una temperatura de – 10 ºC. Si la temperatura baja 5 ºC, el termómetro acabará marcando una temperatura de – 15 ºC. MÁS INFORMACIÓN Regla de los signos para la adición de números enteros de igual signo Positivo + positivo = positivo. Negativo + negativo = negativo.

La temperatura final marcada por el termómetro, – 15 ºC, es la adición de la temperatura inicial, – 10 ºC, y la disminución de temperatura, – 5 ºC: (– 10 ºC) + (– 5 ºC) = – 15 ºC. La adición de dos números enteros negativos es la suma de los valores absolutos de dichos números, con signo negativo.

Efectúa adiciones de números enteros.

2 Adición de números enteros de signos distintos

Observa la manera en que cambió la temperatura del termómetro digital.

RECUERDA Propiedades de la adición de números enteros

Aumenta 10 ºC La adición de dos números enteros x e y cumple con: Propiedad conmutativa: x + y = y + x.

+ 10 ºC Inicialmente, el termómetro indicaba una temperatura de – 15 ºC. Si la temperatura aumenta 10 ºC, el termómetro acabará marcando una temperatura de – 5 ºC. La temperatura final marcada por el termómetro, – 5 ºC, es la adición de la temperatura inicial, – 15 ºC, y el aumento de temperatura, + 10 ºC: (– 15 ºC) + (+ 10 ºC) = – 5 ºC.

Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z). Propiedad del cero: x + 0 = 0 + x = x. Propiedad del opuesto: x + (– x) = (– x) + x = 0.

El resultado de la adición de dos números enteros de distinto signo es la diferencia de los valores absolutos del mayor y del menor de esos números con el signo del que tiene mayor valor absoluto.

En el caso anterior, la adición de – 15 y + 10 es – 5, que equivale a la diferencia 15 – 10 = 5, con el signo negativo del número – 15 que es el número de mayor valor absoluto.

ACTIVIDADES 3 Fíjate en las rectas numéricas y, luego, escribe la adición representada en cada caso.

–6 Z

Z +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

–5

+4 Z

–3 –2 –1

0 +1 +2 +3

Z –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

4 Escribe el signo de las sumas de cada operación de adición.

• (+ 75) + (+ 12)

• (+ 32) + (– 18)

• (+ 14) + (– 44)

• (– 75) + (– 12)

• (– 19) + (+ 35)

• (– 23) + (– 15)

• (– 29) + (+ 12)

• (+ 84) + (– 75)

5 Efectúa las siguientes operaciones de adición.

• (+ 12) + (+ 45)

• (– 25) + (– 45)

• (– 26) + (+ 18)

• (+ 65) + (– 120)

• – 89) + (+ 60)

• (– 19) + (– 320)

• (+ 62) + (– 50)

• (+ 104) + (– 96)

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1 Diferencia de números enteros

RECUPERACIÓN ¿Qué es el opuesto de un número entero? Escribe el opuesto de los siguientes números enteros: –5

+ 15

Observa cuántos pisos subió el ascensor al pasar del nivel soterrado – 2 al piso + 4. +4

– 34.

¿Por qué el entero 0 no tiene un opuesto?

–2 Si inicialmente el ascensor se encontraba en el piso – 2 y sube hasta el piso + 4, el ascensor subió en total 6 = + 6 pisos. El número de pisos que sube el ascensor es la diferencia de los números enteros (+ 4) y (– 2): (+ 4) – (– 2) = + 6. Minuendo

Sustraendo

La operación de diferencia (+ 4) – (– 2) es equivalente a la adición del minuendo (+ 4) y el opuesto del sustraendo (+ 2): (+ 4) + (+ 2) = + 6. Minuendo

Opuesto del sustraendo

La diferencia de dos números enteros es la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo.

Así, si x e y son dos números enteros, su diferencia x – y es equivalente a la adición: x + (– y). Ejemplos resueltos: (+ 35) – (+ 10) = (+ 35) + (– 10) = 35 – 10 = + 25 = 25. (+ 70) – (– 20) = (+ 70) + (+ 20) = 70 + 20 = + 90 = 90. (– 40) – (+ 12) = (– 40) + (– 12) = – 40 – 12 = – 52. (– 18) – (– 62) = (– 18) + (+ 62) = – 18 + 62 = + 44 = 44.

Efectúa sustracciones de números.

2 Propiedades de la diferencia de números

MÁS INFORMACIÓN

enteros Regla para eliminar signos de agrupación

Si x, y y z son números enteros, la sustracción: No es conmutativa: x – y ≠ y – x.

Para eliminar un signo de agrupación antes de realizar las operaciones encerradas las reglas son:

No es asociativa: x – (y – z) ≠ (x – y) – z. Verifica que x – 0 = x, pero 0 – x ≠ x.

3 Suma algebraica de números enteros

Una suma algebraica es el valor de una expresión que combina operaciones de adición o de sustracción de números enteros. Los números que forman la expresión son sus términos. La suma algebraica no depende del orden en que se realicen estas operaciones. Ejemplo resuelto: Determinar el valor de la expresión: (+ 22) – (– 18) + (– 25).

(+ 40)

+ (x + y) = x + y. Ejemplo resuelto: + [ (+ 5) – (– 3)] = (+ 5) – (– 3) Si hay un signo – antes del signo de agrupación, dicho signo de agrupación se elimina, cambiando de signo a todas las cantidades encerradas. – (x + y) = – x – y.

(+ 22) – (– 18) + (– 25) = (+ 22) + (+ 18) + (– 25) =

Si hay un signo + antes del signo de agrupación, dicho signo de agrupación se elimina, sin modificar los signos a las cantidades, x e y, encerradas.

+ (– 25) = + 15

Cuando se presentan operaciones de adición o sustracción, encerradas en signos de agrupación (paréntesis o corchetes), se realizan primero las operaciones encerradas.

Ejemplo resuelto: – [ (+ 5) – (– 3)] = – (+ 5) + (– 3).

Ejemplo resuelto: Determinar el valor de la expresión: (+ 22) – (– 18) + (– 25)

(+ 22) – (– 18) + (– 25) = (+ 22) + (+ 18) + (– 25) =

(+ 40)

+ (– 25) = + 15

ACTIVIDADES 6 Efectúa las operaciones de sustracción.

• (+ 62) – (+ 25)

• (– 12) – (+ 60)

• (+ 75) – (+ 48)

• (+ 95) – (– 105)

• (+ 89) – (– 90)

• (– 10) – (– 25)

• (+ 55) – (+ 90)

• (– 14) – (+ 96)

7 Comprueba las expresiones siguientes.

• (+ 75) – (– 30) ≠ (– 30) – (+ 75)

• (– 6) – [(+ 9) – (– 15)] ≠ [(– 6) – (+ 9)] – (– 15)

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

RECUPERACIÓN ¿Cuál es el valor de x en las expresiones siguientes? 8 x x = 72. x x 12 = 96.

1 Multiplicación de números enteros

La multiplicación de números enteros se diferencia de la multiplicación de números naturales en que, en la primera, hay que tomar en cuenta los signos de los factores. Al multiplicar dos números enteros, se presentan dos situaciones distintas:

(15 + 12) x x = 135. x x (21 – 15) = 108.

Los números son del mismo signo. En este caso, el pro-

ducto es el resultado de multiplicar sus valores absolutos.

18 x (x + 15) = 90.

Ejemplos resueltos: (+ 7) x (+ 5) = |+ 7| x |+ 5| = 7 x 5 = 35. (– 9) x (– 8) = |– 9| x |– 8| = 9 x 8 = 72.

El producto de dos números enteros de igual signo es positivo. Los números son de distinto signo. En este caso, el pro-

ducto es el opuesto del resultado de multiplicar sus valores absolutos. Ejemplos resueltos: (+ 6) x (– 5) = – (| + 6 | x | – 5 |) = – (6 x 5) = – 30. (– 10) x (+ 2) = – (| – 10 | x | + 2 |) = – (10 x 2) = – 20.

MÁS INFORMACIÓN Múltiplos de un número entero Un múltiplo de un número entero x es un número que se obtiene al multiplicar x por sí mismo o cualquier otro número entero. Los múltiplos de x pueden ser positivos o negativos. Ejemplos: – 12 es un múltiplo de + 6, porque: (+ 6) x (– 2) = – 12. + 18 es un múltiplo de – 2, porque: (– 2) x (– 9) = + 18.

El producto de dos números enteros de distinto signo es negativo.

Para efectuar multiplicaciones de números enteros en forma rápida, es útil recordar la regla de los signos que se muestra a continuación: +x+=+

+x–=–

–x+=–

–x–=+

Si se multiplican más de dos números enteros, el producto será positivo, si el número de factores negativos es par y, negativo, si el número de factores negativos es impar. Ejemplos resueltos: (– 5) x (+ 9) x (– 3) = + 135. – 2) x (+ 3) x (– 5) x (– 9) = – 270. (– 1) x (– 7) x (+ 4) x (– 3) x (+ 2) x (– 5) = + 840.

Efectúa multiplicaciones de números enteros.

2 Propiedades de la multiplicación

MÁS INFORMACIÓN

Propiedad conmutativa: El producto de dos números

enteros cualesquiera, x e y, es independiente del orden de los factores. x x y = y x x. Propiedad asociativa: El producto de tres números en-

teros cualesquiera, x, y, z, es independiente de la manera en que se agrupen los factores. (x x y) x z = x x (y x z). Propiedad distributiva con respecto a la adición: Si x, y,

Elementos absorbente y neutro de la multiplicación El número entero 0 es el elemento absorbente de la multiplicación, porque todo número entero x multiplicado por 0 proporciona el 0. El número entero (+ 1) es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número entero x multiplicado por + 1 proporciona al propio número x.

z son números enteros cualesquiera, el producto de la multiplicación de x por la suma (y + z) es igual a la suma (x x y) + (x x y). x x (y + z) = (x x y) + (x x z). Propiedad del cero: El resultado de multiplicar un nú-

mero entero x, por cero, 0, es cero. x x 0 = 0 x x = 0. Propiedad de la unidad: El resultado de multiplicar un

número entero x, por la unidad positiva, + 1, es el propio número entero x.

RECUERDA

x x (+ 1) = (+ 1) x x = x. En la expresión (x x y) + (x x z), x es un factor común.

Operaciones enteras

En la expresión numérica (– 5) x (+ 9) + (– 5) x (– 4), – 5 es un factor común. La aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación permite extraer o sacar el factor común (– 5) de la expresión numérica:

La adición, la sustracción y la multiplicación de dos números enteros x e y dan como resultados números enteros. Cualquiera de las tres operaciones es un ejemplo de operación entera.

(– 5) x (+ 9) + (– 5) x (– 4) = (– 5) x [(+ 9) + (– 4)]. ACTIVIDADES 8 Efectúa las operaciones de multiplicación.

• (+ 2) x (– 5)

• (– 8) x (+ 6)

• (+ 5) x (– 8) x (– 3)

• (– 1) x (+ 9) x (– 5) x (– 2) x (+ 9)

9 Efectúa las multiplicaciones siguientes.

• (+ 8) x (– 5) • (+ 15) x (– 8) x (+ 2)

• (– 7) x (– 12)

• (– 5) x (+ 8) x (– 2)

• (– 6) x (+ 12) x (– 3) x (+ 4)

• (– 9) x (–5) x (–4)

• (– 12) x (– 8) x (– 1) x (+ 3)

10 Comprueba la igualdad: (– 2) x [(– 5) + (+ 9)] = (– 2) x (– 5) + (– 2) x (+ 9).

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

RECUPERACIÓN ¿Cuál es el valor de x en las expresiones siguientes? 18 ÷ x = 3. x ÷ 12 = 4. (45 + 15) ÷ x = 5. x ÷ (18 – 12) = 7. 20 ÷ (x + 3) = 4.

1 División de números enteros

Al dividir dos números enteros hay que tomar en cuenta, como en el caso de la multiplicación, los signos del dividendo y del divisor. En la división de dos enteros se presentan las siguientes situaciones: El dividendo y el divisor son números enteros del mismo

signo. En esta primera situación, el cociente es el resultado de dividir los valores absolutos del dividendo y del divisor. Ejemplos resueltos: (+ 8) ÷ (+ 2) = |+ 8| ÷ |+ 2| = 8 ÷ 2 = 4. (– 9) ÷ (– 3) = |– 9| ÷ |– 3| = 9 ÷ 3 = 3.

El resultado de dividir dos números enteros de igual signo es positivo.

El dividendo y el divisor son números enteros de distinto signo. En esta segunda situación, el cociente es el opuesto del resultado de multiplicar los valores absolutos del dividendo y del divisor. Ejemplos resueltos: (+ 18) ÷ (– 3) = – (| + 18 | ÷ | – 3 |) = – (18 ÷ 3) = – 6. (– 20) ÷ (+ 5) = – (| – 20 | ÷ | + 5 |) = – (20 ÷ 5) = – 4.

El resultado de dividir dos números enteros de distinto signo es negativo.

Para dividir números enteros en forma rápida, es útil recordar la regla de los signos que se muestra a continuación: + ÷ +=+

– ÷ –=+

+ ÷ –=–

– ÷ +=–

2 Divisores de un número entero

Un divisor de un número entero x es un número que divide en forma exacta a x. Ejemplos resueltos: (– 6) es un divisor de (+ 42), porque: (+ 42) ÷ (– 6) = – 7. (+ 5) es un divisor de (– 120), porque: (– 120) ÷ (+ 5) = + 24.

Efectúa divisiones de números enteros.

3 Propiedades de la división de números enteros

La división de números enteros cumple: Propiedad de la no conmutatividad: La división de dos

números enteros cualesquiera, x e y, no es conmutativa, esto es, si se intercambian las posiciones del dividendo y el divisor el cociente se altera. x ÷ y ≠ y ÷ x.

MÁS INFORMACIÓN Cómo obtener uno de dos factores, conocido el producto Si x, y, z son números enteros y, x x y = z, cualquiera de los factores x o y es el resultado de dividir el producto z por el otro factor: x=z÷y

Propiedad de la no asociatividad: La divisiones sucesivas

de tres números enteros cualesquiera, x, y, z, proporcionan cocientes que dependen de la forma en que se agrupen los números x, y, z.

y = z ÷ x.

Ejemplos: Si x x (– 6) = + 48, entonces: x = (+ 48) ÷ (– 6) = – 8.

(x ÷ y) ÷ z ≠ x ÷ (y ÷ z). Propiedad distributiva por la derecha con respecto

Si (+ 9) x x = + 72, entonces: x = (+ 72) ÷ (+ 9) = + 8.

a la adición: Si x, y, z son números enteros cualesquiera, el cociente de la división (x + y) ÷ z es igual a la suma (x ÷ z) + (y ÷ z). (x + y) ÷ z = (x ÷ z) + (x ÷ z) La división no es distributiva por la derecha con respecto a la adición; esto es: x ÷ (y + z) ≠ (x ÷ y) + (x ÷ z). Propiedad de la unidad: La división de un número en-

tero cualquiera x por la unidad positiva (+ 1), es el propio número x: x ÷ (+ 1) = x. Imposibilidad de la división por 0: El cero no es divisor

de ningún número entero x. Esto es, x ÷ 0 no está definida. ACTIVIDADES 11 Completa los signos en las expresiones siguientes.

• … 8) ÷ (– 2) = + 4

• (+ 9) ÷ (… 3) = – 3

• ( – 81) ÷ (+ 9) = … 9

• (+ 75) ÷ (… 3) = + 25

• (– 36) ÷ (… 9) = + 3

• (… 24) ÷ (– 4) = – 12

• (– 16) ÷ (– 4) = … 3

• (– 120) ÷ (… 30) = – 4

12 Efectúa las divisiones siguientes.

• ( – 28) ÷ (– 7)

• (+ 16) ÷ (– 2)

• (– 32) ÷ (+ 8)

• (+ 75) ÷ (+ 15)

• (– 120) ÷ (+ 4)

• (+ 150) ÷ (+ 6)

• (+ 324) ÷ (– 9)

• (– 196) ÷ (– 28)

13 Escribe cuatro divisores positivos o negativos de cada uno de los enteros siguientes.

• + 12

• – 18

• – 24

• + 31

• + 60

• – 75

14 Comprueba la desigualdad: [(– 16) ÷ (– 8)] ÷ (+ 2) ≠ (– 16) ÷ [(– 8)] ÷ (+ 2)].

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

RECUPERACIÓN ¿Cuál es el valor de x en cada una de las expresiones siguientes?

1 Potencias de un número entero El resultado de multiplicar n veces por sí mismo a un número entero x es una potencia de x: x x x x x … … … … x x. n veces.

2x = 8. x4 = 16.

Ejemplos resueltos:

54 = x.

(+ 18) ÷ (– 3) = – (|+ 18| ÷ |– 3|) = – (18 ÷ 3) = – 6.

4x = 256.

(– 20) ÷ (+ 5) = – (|– 20| ÷ |+ 5|) = – (20 ÷ 5) = – 4.

x5 = 32.

El producto anterior se representa en forma abreviada: xn. El número x es la base de la potencia y la cantidad n de veces que x se multiplica por sí mismo es su exponente. Para hallar potencias de números enteros hay que tomar en cuenta el signo, positivo o negativo, de la base. Ejemplos resueltos: (+ 8)3 = (+ 8) x (+ 8) x (+ 8) = + 512. 3 veces.

(–

5)4

= (– 5) x (– 5) x (– 5) x (– 5) = + 625. 4 veces.

La potenciación de números enteros sigue la siguiente regla de los signos: Si x es positivo, la potencia xn también es positiva. Si x es un número negativo, la potencia xn es positiva

si n es un número par y, negativa, si es un número impar.

Una potencia de exponente unidad, x 1 , es igual a la base x:

Ejemplos resueltos: (+ 2)4 = (+ 2) x (+ 2) x (+ 2) x (+ 2) = + 16. (– 4)5 = (– 4) x (– 4) x (– 4) x (– 4) x (– 4) = – 1 024.

x1 = x. 2 Producto de potencias de igual base

Observa el procedimiento para obtener el producto de dos potencias de igual base (+ 5)2 y (+ 5)3: (+ 5)2 x (+ 5)3 = (+ 5) x (+ 5) x (+ 5) x (+ 5) x (+ 5) = (+ 5)2+3 = (+ 5)5. El producto de potencias de igual base, xm y xn, es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los factores, m + n: xm x xn = xm+n. 18

Calcula potencias de números enteros.

3 Cociente de potencias de igual base

RECUERDA

Si (+ 5)2 x (+ 5)3 = (+ 5)5, entonces:

Cuadrados y cubos perfectos

(+ 5)2 = (+ 5)5 ÷ (+ 5)3 = (+ 5)5 – 3.

Si x es un número entero, a las potencias x2 y x3 se les llama cuadrado perfecto y cubo perfecto, respectivamente.

(+ 5)3 = (+ 5)5 ÷ (+ 5)2 = (+ 5)5 – 2. Las expresiones anteriores nos muestran que el cociente de potencias de igual base, xm y xn, es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo y el exponente del divisor, m – n:

9 es un cuadrado perfecto porque es el resultado de (+ 3)2. – 8 es un cubo perfecto porque es el resultado de (– 2)33.

xm ÷ xn = xm – n. EJEMPLOS RESUELTOS:

INTELIGENCIA COLABORATIVA

(+ 2)7 ÷ (+ 2)2 = (+ 2)7 – 2 = (+ 2)5 = + 32. (– 6)5 ÷ (– 6)3 = (– 6)5 – 3 = (– 6)2 = + 36. (– 6)9 ÷ (– 6)6 = (– 6)9 – 6 = (– 6)3 = – 216.

Operaciones con potencias de igual base

4 Potencias de exponente 0

Calculen el valor de las expresiones siguientes. (+ 3)2 x (+ 3)4 x (+ 3)1

La expresión xm ÷ xn = xm – n es interesante porque permite definir la potencia de exponente 0.

[(+ 8)5 x (+ 8)3] ÷ (+ 8)6

Si m = n, entonces xm ÷ xn = xm – m = x0.

[(– 5)7 x (– 5)2 x (– 5)3] ÷ (– 5)9

Como xm ÷ xm = 1, está claro que x0 = 1.

(– 9)7 ÷ [(– 9)2 x (– 9)5]

ACTIVIDADES 15 Escribe el signo de cada una de las potencias siguientes.

• (– 2)5

• (+ 8)12

• (– 5)10

• (– 8)17

• (+ 28)19

• (– 12)25

• (– 18)51

16 Determina, en tu cuaderno, las potencias siguientes.

• (+ 8)3

• (– 5)4

• (+ 7)3

• (– 2)8

• (– 15)3

• (– 6)6

• (+ 120)0

17 Determina, en tu cuaderno, las potencias siguientes.

• (– 3)3 x (– 3)2

• (+ 5)1 x (+ 5)4

• (+ 4)4 x (+ 4)2

• (– 2)5 x (– 2)3

• (+ 8)0 x (+ 8)4

• (+ 5)6 ÷ (+ 5)4

• (– 3)5 ÷ (– 3)2

• (– 8)7 ÷ (– 8)3

• (+ 15)8 ÷ (+ 15)6

• (– 25)10 ÷ (– 25)9

18 Comprueba las igualdades siguientes.

• 32 + 32 + 32 + 32 = 4 x 32

• (2 x 5)2 = 22 x 52

• (6 / 3)3 = 63/33

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1 Raíces cuadrada y cúbica de un número

RECUPERACIÓN ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de área 16 cm2?

16 cm2

La raíz cuadrada de un número es la base que, al ser elevada al cuadrado, nos proporciona dicho número. Un cuadrado perfecto tiene dos raíces cuadradas que son números enteros opuestos.

Si representamos la raíz cuadrada de un número positivo x mediante la expresión x , entonces: 49 = + 7; – 7, porque: (+ 7)2 = (– 7)2 = 49. 81 = + 9; – 15, porque: (+ 9)2 = (– 9)2 = 81.

Un número negativo no tiene raíz cuadrada. Di qué hiciste para responder la pregunta.

La raíz cúbica de un número es la base que, al ser elevada al cubo, nos proporciona dicho número. Un cubo perfecto tiene una raíz cúbica que puede ser positiva o negativa. Si representamos la raíz cúbica de un número positivo x por 3 x , entonces: 3 27 = + 3, porque: (+ 3)3 = + 27 = 27. 3 (– 125) = – 5, porque: (– 5)3 = – 125.

2 Raíces cuadradas exacta y entera

Un número cuadrado perfecto tiene dos raíces cuadradas exactas. Ejemplos resueltos:

RECUERDA

64 = + 8; – 8, que son las raíces cuadradas exactas de 64, porque: (+ 8)2 = (– 8)2 = 64.

196 = + 14; – 14, que son las raíces cuadradas exactas de 196, porque: (+ 14)2 = (– 14)2 = 196.

Elementos de una expresión radical La expresión que representa una raíz consta de las siguientes partes: Raíz Índice

729 = 9

Radicando El índice 2 de las raíces cuadradas no se escribe. La radicación y la potenciación son operaciones inversas una de la otra. Si 9 , entonces: 32 = 9.

Un número que no es cuadrado perfecto tiene una raíz cuadrada entera, que asumiremos positiva. Ejemplos resueltos: El número 26 está entre dos cuadrados perfectos con-

secutivos, 25 y 36, 26 está entre 25 y cuadrada entera de 26 es 25 = 5.

36 . La raíz

El número 75 está entre dos cuadrados perfectos con-

secutivos, 64 y 81, 75 está entre 64 y cuadrada entera de 75 es 64 = 8.

81 . La raíz

Calcula raíces cuadradas y cúbicas de números enteros.

3 Multiplicación y división de radicales

MÁS INFORMACIÓN

de igual índice n Residuo de una raíz cuadrada Si n

x x

y son raíces de un mismo índice n, entonces:

xxy

x ÷

x÷y=

Si N es un número entero positivo y x su raíz cuadrada entera, a la diferencia N – x2 se le llama residuo de N .

x/y .

Ejemplos resueltos:

Cuando el residuo de N es cero, la raíz cuadrada es exacta.

9 x 16 = 9 x 16 = 144 = 12.

Ejemplos:

3 8 x 3 27 = 3 8 x 27 = 3 216 = 6.

La raíz cuadrada entera de 68 es 8 y su residuo es: 68 – 82 = 68 – 64 = 4.

4 Operaciones combinadas

La raíz cuadrada entera de 90 es 9 y su residuo es: 90 – 92 = 90 – 81 = 9.

El valor de una expresión con operaciones combinadas se obtiene efectuando las operaciones en el siguiente orden jerárquico: primero, se efectúan las operaciones entre paréntesis o corchetes; luego, las potencias y raíces; más tarde, las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las adiciones y sustracciones. Ejemplos resueltos: Calcular: (– 2) x (9 – 4) – 2 x 32 – 15 ÷ (– 3) + 9

(– 2) x (9 – 4) – 2 x 32 – 15 ÷ (– 3) + 9 = (– 2) x 5 – 2 x 32 – 15 ÷ (– 3) + 9 = – 10 – 2 x 32 – 15 ÷ (– 3) + 9 = – 10 – 2 x 9 – 15 ÷ (– 3) + 3 = – 10 – 18 + 5 + 3 = – 20.

ACTIVIDADES 19 Determina las raíces cuadradas positivas exactas o enteras.

•

121

•

150

•

256

•

320

•

529

•

965

20 Determina las raíces cúbicas.

•

– 27

• 3 64

• 3 125

• 3 – 216

• 3 343

• 3 – 512

• 3 1 000

21 Calcula el valor de cada expresión.

•

– 27 x 8 + (18 – 3)2 ÷ 3 – 4 x [5 + (– 15) ÷ 5] + 75

• [5 x (– 3) + 10] + (– 2) x 52 – 180 ÷ (–12) + 15 ÷ 3 125 – 16

ACTIVIDADES

22 Escribe el número entero correspondiente.

La temperatura es de 10 ˚C bajo cero. La altura de la montaña es de 879 m. La profundidad del pozo es de 18 m. La inflación subió 3 puntos porcentuales.

27 Representa las operaciones en la recta numéri-

ca y, luego, escribe el resultado. (+ 5) + (+ 4)

(– 8) + (+ 12)

(– 10) + (+ 3)

(– 3) + (– 9)

28 Calcula.

El avión descendió 200 m.

(+ 12) + (– 9) – (– 5)

Hubo un aumento de sueldo de RD$1 500.

(– 7) – (+ 4) – (– 10)

Luisa tiene una deuda de RD$ 2 500.

(– 25) + (– 32) – (+ 15)

La población disminuyó un 10 %.

(+ 95) – (+ 40) + (– 9)

El comercio creció un 25 % este mes. El río está a 18 m bajo el nivel del mar. 23 Observa y, luego, completa la tabla.

Número

Opuesto

– 16

– 40

– 28

– 12

– 45

– 10, – 4, + 5, + 12, – 45, – 15, + 25, + 60 25 Escribe, en orden de menor a mayor, todos los

números enteros comprendidos entre … … – 10 y + 5

26 Organiza las temperaturas de los termómetros

de mayor a menor. +20 +15 +10 +5 0 –5 –10 –15

+20 +15 +10 +5 0 –5 –10 –15

(– 8) x (+ 2) x (+ 6)

(+ 12) x (– 9) x (– 5)

(– 5) x (– 6) x (– 8)

(+ 36) ÷ (– 12)

(– 120) ÷ (– 15)

30 Determina las potencias siguientes.

(+ 5)3

sus opuestos sobre una recta numérica.

+20 +15 +10 +5 0 –5 –10 –15

(+ 4) x (+ 5)

(+ 2)8

(– 4)5

las raíces que existen.

– 196

– 512

400

32 Obtén sin la calculadora, mediante exploración,

las raíces siguientes.

121 3

361

216

– 125

676 3

343

841 3

– 729

33 Determina la raíz cuadrada entera y el residuo.

150

220

652

34 Obtén el valor de las expresiones aritméticas

siguientes. +20 +15 +10 +5 0 –5 –10 –15

+20 +15 +10 +5 0 –5 –10 –15

(– 3)2 x [(+ 5)3 + (– 12) ÷ (+ 3) – 36 x 81 ] (– 3) x (+ 2)4 – (+ 24) x (– 3) + 3 – 216 – 144 35 Comprueba que la expresión con radicales si-

guiente es verdadera. 3x

(– 3)4

31 Marca con

24 Representa los siguientes números enteros y

… – 15 y – 2

29 Obtén los productos y cocientes.

25 + 5 x

25 + 2 x

25 = 10 x

Competencias fundamentales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 36 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

37 Analiza y, luego, responde.

Un visitante está en el piso 5 de un edificio de siete plantas. Determina en cuál de los niveles soterrados del edificio parqueó el visitante su vehículo, si para llegar hasta el mismo debe bajar 7 pisos.

Luis está parado a 3 metros a la derecha de un farol esperando el autobús. Si se mueve 12 metros hacia la izquierda, ¿en qué posición se colocará respecto al farol?

–4 –3 –2 –1

+1 +2 +3 +4

Diana patina 15 metros hacia la derecha de su casa y se devuelve 25 metros hacia la izquierda, para después moverse 3 metros a la derecha y detenerse. ¿En qué posición con respecto a la puerta de su casa se detiene Diana?

Escribe la solución del problema anterior como una diferencia de números enteros. Un carro está aparcado en el parqueo marcado con el número – 12. Su conductor, una vez terminada la diligencia que lo llevó al lugar, dejó libre el espacio que ocupaba. Más tarde regresa y aparca en el parqueo marcado con el número + 6. ¿A cuántos parqueos de distancia está la nueva posición de la posición original?

– 15

– 10

–5

–2

–1 0

+ 10

+ 15

38 Responde las preguntas.

Las marcas del control de temperatura de un refrigerador se muestran en la figura. Funciona normalmente a –18 ºC. – 18 – 20

–3

– 16

+3 – 22

Describe qué procedimiento utilizaste para responder de la manera en que lo hiciste.

– 14

¿Cuál es el cambio de la temperatura del refrigerador cuando se pasa de la posición 1 a la posición 4 del control? ¿Y de la posición 5 a la posición 1?

EVALUACIÓN Modela y representa 39 Identifica el número representado en cada rec-

44 Completa la tabla.

ta numérica. –6

– 15

–4

–2

– 10

–5

+ 10

+ 15

–5

–4

–3

–9

–7

–6

–8

–5

b+c

a x (b + c)

45 Calcula.

– 20

– 10

+ 10

+ 20

• 24 x 23 x 2

Comunica

• (– 3)3 x (– 3)2 ÷ (– 3)4

40 Escribe el signo , o . entre cada par de núme-

• (– 5)5 x (– 5)3 ÷ (– 5)6

ros enteros.

• [910 x 95 x 93] ÷ 915

• + 5 … + 10

• –5…–9

• + 5 … – 10

• 0 … – 25

• – 30 … – 20

• – 16 … + 10

Usa algoritmos 41 Obtén el valor de las siguientes expresiones.

46 Obtén las siguientes raíces cuadradas exactas

o enteras. Escribe los residuos de las raíces enteras. •

289

•

441

•

520

•

680

•

900

•

785

• 5 x |5 – 9| + 3 x |3 + 5| • 6 x |10 + 2| – 4 x |8 – 14| + |6 – 15| • |3 – 8| x | 5 – 9| – |6 + 5| x |4 – 9| • |8 – (– 5) – 9| x |(– 15) + 10 – (– 2)| 42 Efectúa las operaciones siguientes.

• 10 + (– 3) – (– 12) + 18 • (– 32) – [15 + (– 8) – 12] • (6 – 12 + 15) – (10 – (– 15) – 20) • 36 – [ (– 6) + (– 12) – 4 – (– 6)] 43 Efectúa las operaciones combinadas.

Conecta 47 Resuelve el problema.

Un biólogo marino se encuentra, inicialmente, a 12 metros por debajo de la superficie del océano. Desciende 8 metros y, de inmediato, asciende 6 metros, colocando allí una cámara para observar el comportamiento de los peces loro. • ¿A cuántos metros por debajo de la superficie coloca el biólogo la cámara? 48 Calcula la altura H del edificio, sabiendo que:

H = c2 – a2 .

• (– 5) x 8 x (– 2) x (– 4) • 3 x [ (– 6) + 9 – (– 3)]

c = 25 m

• 4 x (– 6) x (– 5) ÷ (– 2) • 120 ÷ [ (– 3) x 5 x (– 2)]

a=7m

Medición de logros

49 Estudio de caso. Lean cuidadosamente y, luego, hagan lo que se

les pide. El frigorífico de una pescadería mantiene a los mariscos a una temperatura constante de – 10 ºC. Los conserva en buen estado hasta los 0 ºC. A temperaturas mayores que 0 ºC, los mariscos empiezan a descomponerse. Imaginen que a las 8 de la mañana ocurre una interrupción del servicio de energía eléctrica y la temperatura del frigorífico comienza a aumentar a una velocidad de 2 ºC cada 15 minutos. • Exploren procedimientos con los que puedan determinar a qué hora de la mañana, si el servicio de energía no es restablecido, los mariscos alcanzarán la temperatura en que empiecen a dañarse. • Expongan el procedimiento descubierto en el aula y defiéndanlo de las posibles críticas que pudieran surgir.

50 Responde las preguntas.

• ¿Cómo manejas el dinero que te dan tus padres para la merienda del colegio o tus gastos semanales? • ¿Qué importancia tiene para ti administrar tus gastos? • ¿Puedes poner ejemplos en los que se muestren actitudes responsables e irresponsables frente al gasto?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 51 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Identifico, represento y ordeno números enteros. • Efectúo operaciones aritméticas con números enteros. • Determino valores absolutos de números enteros. • Resuelvo problemas en los que intervienen enteros. 52 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Te sientes satisfecho con el aprendizaje logrado en esta unidad? • ¿En cuáles contenidos de los estudiados te gustaría profundizar?

Los números racionales. Operaciones

Punto de partida En una clase de Matemática los estudiantes están trabajando el tema de las mediciones. Norma pidió al profesor que midiera su estatura con una regla graduada en metros. El resultado de esa medición fue de 1 metro y algo más de 40 centímetros.

Conceptos y procedimientos Los números racionales. Los racionales en la rec-

ta numérica. Relaciones de orden

entre los racionales.

A Norma la medida no le pareció precisa y preguntó al profesor: ¿Qué debo entender por este “algo más de 40 centímetros”? El profesor contestó: Norma, esta expresión indica que la regla utilizada no permite una precisión por encima de las décimas de metro. Tu estatura es de 1 metro y entre 40 y 50 centímetros.

Adición y sustracción

Norma y sus compañeros comprendieron que los números enteros no siempre nos sirven para expresar los resultados de una medida.

Radicación

¿Te has encontrado, al medir, con

Valorar el espíritu

situaciones como la descrita arriba? ¿Cómo has reaccionado? ¿Cuándo el resultado de una me-

de racionales. Multiplicación y divi-

sión de racionales. Potenciación

de racionales. Notación científica.

de racionales. Actitudes y valores de investigación. Apreciar el cuidado

y el rigor.

dida merece tu confianza? RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿En cuales situaciones de la vida cotidiana has realizado

operaciones de medida? ¿Qué magnitudes has medido en esas situaciones? ¿Con cuáles instrumentos de medición realizaste las medidas? ¿Qué unidades usaste para expresar tus mediciones? ¿Cómo se ponen de acuerdo dos personas que utilizan dis-

tintas unidades para medir una misma magnitud?

OBSERVACIÓN ¿En qué consiste la operación de medir una magnitud? ¿Qué entiendes por unidad o patrón de medida? ¿Qué importancia tiene definir o establecer con claridad un patrón

de medida? Menciona tres patrones o unidades de medida y di qué magnitudes

se miden con los mismos. ¿Por qué las mediciones son necesarias en cualquier investigación?

LOS NÚMEROS RACIONALES. ORDEN

1 Los números racionales

RECUPERACIÓN ¿Cuáles de éstas fracciones son números enteros? 5 8

7 5

12 3

15 9

16 4

24 25

El resultado de dividir un número entero por otro entero, distinto de cero, es un número racional. Los números racionales pueden ser positivos o negativos.

EJEMPLOS RESUELTOS: (– 6) ÷ 8 = – 6

15 ÷ (– 7) = – 15

25 ÷ 5 = 5

(– 14) ÷ (– 7) = 2

0÷ 9=0

3 ÷ 10 = 3

Los números racionales pueden ser enteros o fracciones.

MÁS INFORMACIÓN

El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q. Este conjunto incluye al conjunto de los números enteros Z: todo número entero es un número racional. Q

Clasificación de los números decimales

Un número decimal puede ser: Exacto, si tiene un número finito de cifras decimales. Ejemplo:

2 Fracciones y números decimales Cualquier fracción es equivalente a un número entero o a un número decimal (positivo o negativo).

5 = 0.625 . Tiene tres cifras decimales. 8

Periódico puro, si tiene una o más cifras decimales que se repiten sin término. Estas cifras forman el período del decimal. Ejemplo: 12 = 0.1212 … . 99

Su periodo es de dos cifras que son las que se repiten. Periódico mixto, si tiene una parte decimal exacta y otra periódica. La parte exacta forma el anteperíodo del decimal. Ejemplo: 37 = 1.2333 … . Tiene una parte deci30

mal exacta, 2, y una cifra periódica, 3. La cifra 2 es el anteperíodo.

EJEMPLOS RESUELTOS: (– 6) ÷ 8 = – 0.75

3 ÷ 7 = 0.428571 …

8 ÷ 9 = 0.8888 …

33 ÷ (– 90) = – 0.3666 …

Para obtener el número decimal equivalente a una fracción, se divide el numerador de la fracción por su denominador. A los residuos obtenidos se agrega un cero para continuar la división hasta obtener un residuo 0. De no conseguirse el residuo 0, las cifras decimales del cociente se prolongan indefinidamente. EJEMPLO RESUELTO: 7 =7÷5

7 5 –5 20 – 20 0

1.4

7 ÷ 5 = 1.4

Identifica, representa y ordena números racionales.

3 Representación de números racionales

MÁS INFORMACIÓN

en la recta numérica Valor absoluto de un número racional

Los números racionales, como los naturales y los enteros, se representan mediante puntos sobre una recta numérica. A cada número racional x le corresponde un punto de la recta.

Si x es un número racional, su valor absoluto |x| es un número positivo que representa su distancia al cero.

Para representar un número racional de denominador n, se dividen las unidades de la recta numérica en n partes iguales y se cuentan tantas de estas partes como indique el numerador del número racional. EJEMPLO: Representar el número racional 12 = 1.2

RECUERDA

Se dividen las unidades de la recta en n = 10 partes iguales, se cuentan, desde el 0, 12 de estas partes y allí se marca un punto •, que representará al número racional 12 .

Multiplicación en cruz Para comparar dos números racionales, a c b y d , se emplea la multiplicación en cruz:

Si a < c , entonces: a x d < b x c.

b d a Si = c , entonces: a x d = b x c. b d Si a > c , entonces: a x d > b x c. b d

4 Relaciones de orden entre los números

racionales El conjunto de los números racionales está ordenado. Dados dos números racionales, x e y, siempre es posible determinar si: x < y , x = y o x > y.

EJEMPLOS: 5

Si 9 > 2 : 5 x 2 > 9 x 1.

Sobre una recta numérica, el número ubicado a la derecha del otro es mayor que ese otro.

3 4 < : 3 x 5 < 4 x 4. 4 5

x>y y

ACTIVIDADES 1 Escribe cada número racional en forma de fracción como un decimal. Luego, clasifícalos.

• –

3 4

•

5 16

•

8 3

• –

1 12

• –

16 25

• –

15 99

2 Representa en tu cuaderno los números racionales siguientes.

•

5 4

•

3 8

• –

6 10

•

25 5

• – 6.80

3 Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales positivos.

•

48 24

•

13 10

• 2.8

•

29 50

•

7 25

• 5

• 1.08

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL

1 Fracción generatriz de un número decimal

RECUPERACIÓN Escribe, sin efectuar la división, el número decimal equivalente a cada fracción. 1 4

2 5

3 6

5 10

16 10

45 100

Al dividir el numerador de una fracción por su denominador se obtiene un número decimal. La fracción de la que procede un número decimal es su fracción generatriz. Así, la fracción generatriz de 0.75 es 3 y la de 2.35 es 47 . 4

2 Generatriz de un decimal exacto

Para determinar la fracción generatriz de un número decimal exacto primero, se escribe el número sin punto decimal y luego, se construye una fracción de numerador igual al número obtenido en el paso anterior y de cuyo denominador sea la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. EJEMPLO RESUELTO: Obtener la fracción generatriz de 3.15

Se escribe el número sin punto decimal: 315. Este número, 315, será el numerador de la fracción generatriz. El denominador de la fracción generatriz es 100, porque 3.15 tiene dos cifras decimales. Un número decimal periódico, puro o mixto, puede escribirse con una rayita sobre las cifras que forman el período. 4. 323232 … = 4.32

La fracción generatriz buscada es: 315 . 100

3 Generatriz de un decimal periódico puro

Para obtener la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, primero, se corre el punto decimal hacia la derecha, tantas cifras como indique el período, y se toma la parte entera del número resultante; luego, se resta de la parte entera obtenida en el paso anterior, la parte entera del número decimal original y, finalmente, se construye una fracción de numerador igual a la diferencia obtenida en el segundo paso y denominador formado por tantos nueves (9) como cifras periódicas tenga el decimal. EJEMPLO RESUELTO: Obtener la fracción generatriz de 1.626262…

1.626262 …

1.62.6262 …

Al número 1.62 se resta 1: 162 – 1 = 161. Como hay dos cifras periódicas en el decimal original, la generatriz buscada es: 161 . 99

Obtiene la fracción generatriz de un número decimal.

4 Generatriz de un decimal periódico mixto

MÁS INFORMACIÓN

Para obtener la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto, primero, se forma un número entero con la parte entera del decimal, si la hubiere, el anteperíodo y las cifras del período; luego, se obtiene la diferencia del entero conseguida en el primer paso y el entero formado por la parte entera del número original y el anteperíodo; después, se halla la diferencia de la unidad, seguida de tantos ceros como cifras tengan el anteperíodo y el período juntos y la unidad seguida de tantos ceros como cifras haya en el anteperíodo y, finalmente, se forma la fracción generatriz cuyo numerador es la diferencia obtenida en el segundo paso y cuyo denominador es la diferencia obtenida en el tercer paso.

Densidad del conjunto de los números racionales El conjunto Q es denso, porque entre dos números racionales, no importa cuán cercanos estén uno del otro, hay siempre otro número racional. 403

El racional 200 está entre los números racionales 201 y 202 . 200 100

201 100

403 200

EJEMPLO RESUELTO:

403

Comprueba que 200 está comprendido entre los números 201

Obtener la fracción generatriz de 3.5262626 …

3.5262626 …

3 526. 2626 …

100

y 202 . 200

Al número 3 526 se resta 35: 3 526 – 35 = 3 491. Como el anteperíodo y el período tienen, juntos, tres cifras y el anteperíodo solo tiene una cifra la generatriz 3 491 buscada es: = 3 491 . (1 000 – 10)

990

5 Números irracionales

Un número irracional no es ni entero, ni decimal exacto o periódico, por tanto, no puede expresarse como un cociente de números enteros. 2 = 1.414213562 … y π = 3.141592654 … son irracionales. ACTIVIDADES 4 Identifica y, luego, encierra, si las hay, las cifras periódicas de cada número decimal.

• 1.2222 …

• 0.050505 …

• 8.327…

• 4.3122122 … • 1.03111 …

• 0.5082111 …

5 Obtén la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

• 0.75

• 2.125

• 1.666 …

• 1.7222…

• 2.5050 …

• 0.02525 …

• 4.7025

• 3.82525 …

• 5. 106060 …

• 0.0011…

• 2.7474 …

• 0.02525

6 Escribe …

• … 5 números racionales entre

31 5 y . 50 8

• … 8 números racionales entre 0.25 y 0.26.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS

1 Adición y sustracción de números racionales

RECUPERACIÓN Efectúa las operaciones. 4 + 12 + 2 9 9 9

Números racionales en forma de fracciones: Para efectuar operaciones de adición o sustracción de números racionales, expresados en forma de fracciones con un denominador común, se realizan las operaciones con sus numeradores.

8 – 15 5 12 3 + 5 + 2 4 8 5

12.658 + 9.953

EJEMPLOS RESUELTOS:

0.658 – 0.2635

Efectuar: 5 + 9 .

Como indica el procedimiento, se suman los numeradores de las fracciones: 5 + 9 = 5 + 9 = 14 . 8 8 8 8

La suma de las fracciones del ejemplo es: 14 = 7 . 8

Efectuar: 7 – 3 . 4 5

En este caso, como los denominadores son distintos se busca un denominador común, que es el mínimo común múltiplo de los denominadores, 20: RECUERDA

7 3 35 12 35 – 12 23 – = – = = . 20 20 20 20 4 5

Reducción a un denominador común El denominador común de dos o más fracciones es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplos: Reducir las fracciones 58 y 35 a un denominador común. m.c.m. (8,5) = 40.

La diferencia de las fracciones es: 23 . 20

Números racionales en forma decimal. Para efectuar operaciones de adición o sustracción de racionales en forma decimal primero, se colocan verticalmente los números de manera que sus puntos decimales queden alineados verticalmente y, luego, se realizan las operaciones de derecha a izquierda con las cifras correspondientes a cada orden de numeración.

Entonces: 40 ÷ 8 = 5

EJEMPLO RESUELTO:

5 = 5 x 5 = 25 . 8 40 8x5 40 ÷ 5 = 8 3 = 3 x 8 = 24 . 40 5x8 5 Las fracciones reducidas a un denominador común son 25 y 24 . 40

Obtener la diferencia: 12.67 – 8.325:

12.670 12.67 – 8.325

–

8.325 4.345

La diferencia buscada es: 4.345.

Efectúa adiciones y sustracciones de números racionales.

2 Suma algebraica de números racionales

RECUERDA

Una suma algebraica es una expresión aritmética que reúne operaciones de adición y sustracción.

Representantes de un número racional

Las expresiones siguientes son sumas algebraicas:

Las fracciones equivalentes expresan un mismo número racional. Son representantes del número racional.

9 – 5 – ( – 6 ) + ( – 7 ). 15 12 4 3

9 + (– 5) – 12 – (– 8) + 14

Al eliminar los paréntesis, las expresiones que son:

5 , 10 , 20 y 40 , son representan8 16 32 64

9 – 5 + 6 – 7 . 4 3 15 12

9 – 5 – 12 + 8 + 14

tes del mismo número racional.

Eliminados los paréntesis, se realizan las operaciones tomando en cuenta la regla de los signos de la adición. EJEMPLO RESUELTO: Efectuar: 15 – – 7 (

+ – 1 – 5 . 12 ) ( 24 ) 3 7 1 5 – (– = + – – 12 ) ( 24 ) 3 + 28 – 2 – 80 = – 39 . 48 48 48 48 48

15 48 15 48

El resultado de las operaciones es: – 39 . 48

–

3 Propiedades de la adición y la sustracción

(– 5) 5 5 . = = 8 8 (– 8)

de números racionales • La adición y la sustracción de números racionales, x e y, cumplen con las mismas propiedades de la adición y la sustracción de los números enteros.

Propiedades de la adición: x + y = y + x.

(x + y) + z = x + (y + z).

x + 0 = 0 + x = x.

x + (– x) = (– x) + x = 0.

Propiedades de la sustracción: x–y≠y–x

(x – y) – z ≠ x – (y – z)

x – 0 = x.

ACTIVIDADES 7 Efectúa las operaciones siguientes.

•

• –

(– 10 ) – (– 10 ) 8

•

– (– 5 ) + (– 4 ) 21 18

8 Comprueba que:

(–

) + 12 + (–

)

•

• 35.786 – (– 22.09) – 9.325 5

[(– 5 ) + (– 4 )] + 9 = (– 5 ) + [(– 4 ) +

• 4

(–

– (– 2 5 5

)–

+ (– 2 5

) + (– 0.725) + (–

)

)] . 33

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

1 Multiplicación de números racionales

RECUPERACIÓN Efectúa. 4.56 x 3 5÷4

12.5 x 3.42 3.2 ÷ 16

0.3 x 5.4 0.2 ÷ 0.5

El resultado de multiplicar dos o más números racionales es otro número racional. En la multiplicación de racionales se utiliza la misma regla de los signos de la multiplicación de enteros.

Números racionales en forma de fracciones

RECUERDA

El producto de dos o más racionales en forma de fracción, es otra fracción de numerador igual al producto de los numeradores y denominador igual al producto de los denominadores. EJEMPLO RESUELTO:

Multiplicación de decimales por potencias de 10 Multiplicar un número decimal por una potencia de 10 equivale a correr el punto decimal tantos lugares a la derecha como ceros tenga la potencia de 10. Ejemplos: 4.23 x 10 = 42.3. 4.23 x 1 000 = 4230.

Obtener: 5 x ( – 4

5 x – 4 ( 3 2

) x (–

15 8 )

15 = 5 x (– 4) x (– 15) 8 ) 2x3x8 = 300 = 25 48 4

El producto obtenido y simplificado es 25 . Este pro4 ducto es positivo porque + x – x – = +.

Números racionales en forma de decimales Para obtener el producto de dos o más números racionales en forma decimal, se multiplican los factores como si fueran números naturales, se cuentan las cifras decimales de los factores y al producto obtenido se coloca un punto decimal tantos lugares a la izquierda de la última cifra de la derecha como sea la suma de las cifras decimales de los factores.

MÁS INFORMACIÓN

EJEMPLO RESUELTO: Obtener la diferencia: 52.75 x (– 4.29).

Propiedades de la multiplicación de racionales Si x, y e z son números racionales, su división cumple las siguientes propiedades: x x y = y x x (Conmutativa). (x x y) x z = x x (y x z) (Asociativa). x x (y + z) = (x x y) + (x x z ) (Distributiva con respecto a la adición).

52.75 x (– 4.29) x

52.75

2 decimales.

4.29

2 decimales.

47475 10550 21100 226.2975

2 + 2 = 4 decimales.

El resultado de la multiplicación 52.75 x (– 4.29) es: – 226.2975.

Efectúa multiplicaciones y divisiones de números racionales.

2 División de números racionales El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional siempre que el divisor no sea cero. En la división de racionales se utiliza la misma regla de los signos de la división de enteros.

Números racionales en forma de fracciones El cociente de dos racionales en forma de fracción, es el resultado de multiplicar la fracción del dividendo por la recíproca de la fracción del divisor.

RECUERDA División de decimales por potencias de 10 Dividir un número decimal por una potencia de 10, equivale a correr el punto decimal tantos lugares a la izquierda como ceros tenga la potencia de 10. Ejemplos: 25.8 ÷ 10 = 2.58 Un lugar.

EJEMPLO RESUELTO: Obtener: – 12 (

÷ – 8 5 ) ( 10 ) (– 12) x (– 10) = 3. 12 8 12 10 ( – 5 ) ÷ ( – 10 ) = ( – 5 ) x ( – 8 ) = 5x8

25.8 ÷ 100 = 0.258 Dos lugares.

El producto obtenido y simplificado es 3. Este cociente es positivo porque – ÷ – = +.

Números racionales en forma de decimales Para dividir dos racionales en forma de decimal, primero se multiplican el dividendo y el divisor por una potencia de 10 que transforme al divisor en un número entero y, luego, se efectúa la operación.

Propiedades de la división de racionales Si x, y y z son números racionales, su división cumple las siguientes propiedades:

EJEMPLO RESUELTO: Obtener: 133.28 ÷ 23.8.

133.28 ÷ 23.8

MÁS INFORMACIÓN

1332.8 238 – 1190

5.6

1428 – 1428 0 El cociente buscado es 5.6.

x ÷ y = y ÷ x (No conmutativa). (x ÷ y) ÷ z = x ÷ (y ÷ z) (No asociativa). (x + y) ÷ z = (x ÷ z) + (y ÷ z) (Distributiva por la derecha con respecto a la adición). La operación x ÷ 0 no está definida.

ACTIVIDADES 9 Efectúa las multiplicaciones y divisiones siguientes.

• (– 3 ) x (– 3 ) 5 5 • (– 6 ) x 3 x (– 3 7 5 5

)

• (– 0.086) x (– 37.15) x (– 14)

• 12 ÷ (– 24 ) 5

• (– 8 ) ÷ 16 6 24

• 3.3626 ÷ 4.3

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

RECUPERACIÓN Escribe los productos siguientes en forma de potencia. (– 3) x (– 3) x (– 3) x (– 3)

1 Potencias de exponentes entero positivo o cero El resultado de elevar un número racional a a un exponente n n b es otro número racional an . b

4x4x4x4x4x4x4x4

EJEMPLO RESUELTO:

( 23 ) x ( 23 ) x ( 23 )

Obtener: – 3 (

(–

5) 3 (– 35 ) = (– 35 ) x (– 35 ) x (– (– 3) x (– 3) x (– 3) = (– 3)3 = – 5x5x5 53

12 x – 12 5) ( 5)

3 = 5) 27 125

a es un número racional, entonces: a 0 = a0 = 1 = 1. Si b (b) b0 1 a Lo anterior muestra que cualquier número racional b elevado a un exponente cero es igual a la unidad. a es un número racional: En resumen, si x = b n

( ba )

n = an

( ba )

La potenciación de números racionales obedece a la misma regla de los signos de los números enteros. 2 Multiplicación de potencias de igual base Al multiplicar dos potencias distintas de igual base racional, a , b se obtiene otra potencia cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.

De acuerdo a la afirmación anterior, el producto m n m+n ( a ) x ( a ) es equivalente a la potencia ( a ) . b

EJEMPLOS RESUELTOS: 2

Determinar: 2 (

)

2+3

(3)

2 veces.

(3)

=( 2 3

)

) x (–

1 5

25 35

3 veces.

= 32 . 243

1 2. 5) 4+2 = (– 1 ) = (– 1 5 5

) x (–

1 5

Calcular: (– 1

(Video) TOTAL ABS - get a 6 pack workout

(–

( 3 ) = ( 3 ) x ( 3 ) x ( 3 ) x ( 3 ) x ( 3 )=

)

1 . 15 625

Calcula correctamente potencias de números racionales.

3 División de potencias de igual base

MÁS INFORMACIÓN a

Producto y cociente de potencias de igual exponente

Al dividir dos potencias distintas de igual base racional b , se obtiene otra potencia cuyo exponente es el exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

El producto de dos potencias de igual exponente, n, es igual al producto de las bases elevado al exponente n:

m n La afirmación anterior muestra que ( a ) ÷ ( a ) es equib b m – n valente a la potencia ( a ) . b

a n

(–

2 9

÷ (– 2 9

)

) ÷ (–

= (– 2 9

2 9

6–2

)

El cociente de dos potencias de igual exponente, n, es igual al cociente de las bases elevado al exponente n:

= (– 2 9

)

n n x ( dc ) = ( ba x dc )

(b)

EJEMPLO RESUELTO: Determinar: – 2 (

4 = (– 2) = 16 . 4 9 6 561

a n

n n ÷ (c) = (a ÷ c) d b d

(b)

Ejemplos resueltos:

4 Potencias de exponentes negativos

Calcular: ( 1 2

0 a Si x = b , entonces: xn = x0 – n = x– n. Puesto que x0 = 1, x

1 2

entonces:

(2)

x0 = 1 = x– n. xn xn La expresión anterior nos permite interpretar el significado de un exponente negativo: x– n es la recíproca de la potencia xn.

)

2 2

(3)

2 2

(3)

= ( 12 x 23 ) = ( 13

Calcular: ( 2

)

(5)

)

= ( 19 ) .

( 5 ).

=(2 ÷ 1 5

)

= 23 = 8.

EJEMPLO RESUELTO: Determinar: – 5 – 2 ( )

(–

5 6

–2

)

1 (– 56

)

(

1 = 36 25 25 36 )

ACTIVIDADES 10 Calcula las potencias siguientes.

• (– 1 6

)

•

• (– 3 4

(2)

–3

)

• (– 2 5

–4

)

•

( 10 )

–2

•

( 10 )

–2

11 Efectúa las operaciones siguientes.

• (– 3 7

)

•

–5

(8 ) x(8 )

• (27)– 4 x (27)4

•

2 x 25 2

–2

)

12 Comprueba, dando valores a x , que: (x2)3 = (x3)2.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

RECUPERACIÓN Calcula mentalmente. 53 x 100

28 x 10 000

2.5 x 1 000

0.07 x 100 000

36 ÷ 10

253 ÷ 10 000

0.5 ÷ 1 000

76.4 ÷ 100 000

1 Potencias de 10 de exponentes enteros

Una potencia de 10 de exponente entero es el resultado de multiplicar 10 o 1/10 varias veces por sí mismo. En el caso de multiplicar 10 varias veces por sí mismo, se tendrá una potencia de 10 con exponente positivo. EJEMPLOS RESUELTOS: 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10 000. 4 veces.

10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 107 = 10 000 000. 7 veces.

La multiplicación de 1/10 varias veces por sí mismo proporcionará una potencia de 10 con exponente negativo. EJEMPLOS RESUELTOS:

( 10 ) x ( 10 ) x ( 10 ) =

1 = 10 – 3 = 0.001 103

3 veces.

( 10 ) x ( 10 )

( 10 ) x ( 10 ) =

1 = 10 – 4 = 0.0001 104

4 veces.

2 Notación científica

En ocasiones, es preciso escribir o realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. Manejar estos números puede ser difícil. La notación científica se creó para facilitar el trabajo con estos números. Una cantidad expresada en notación científica es el producto de un número entre 1 y 10, y una potencia de diez.

Fíjate cómo se escriben, en notación científica, los números siguientes: 456 000 000 = 4.56 x 108 50 000 000 000 000 = 5 x 1013 0.00006895 = 6.895 x 10– 5 0.0000000000000001932 = 1.932 x 10– 16

Observa que en todos los casos el número que antecede a la potencia de 10, y que lo multiplica, está entre 1 y 10. 38

Escribe números en notación científica.

3 Procedimientos para escribir un número en

notación científica Para escribir un número en notación científica, se corre su punto decimal a la izquierda o a la derecha, tantos lugares como sea necesario para conseguir un número entre 1 y 10. Si el punto decimal se corre hacia la izquierda, se escribirá un exponente positivo para la potencia de 10; en cambio, si se corre hacia la derecha el exponente será negativo.

INTELIGENCIA COLABORATIVA De la notación científica a la notación normal Descubran el número que corresponde a cada expresión en notación científica. Luego, expongan en el grupo cómo lo hicieron. 4.25 x 103

EJEMPLOS RESUELTOS:

2.71 x 10 – 4

Escribir el número 32 500 en notación científica.

9.58 x 100

El número 32 500 es un entero, su punto decimal está a la derecha de la cifra del orden de las unidades: 32 500.0. El punto decimal de 32 500.0, se corre cuatro lugares hacia la izquierda: 32 500.0 = 3.2500.0 x 104 = 3.25 x 104.

7.9278 x 108 4.98 x 10 – 12

4 lugares.

Expresar el número 0.0000075 en notación científica.

El punto decimal de 0.0000075, se corre seis lugares hacia la derecha: 0.000007.5 = 7.5 x 10 – 6. 6 lugares.

Escribir el número 6 258.427 en notación científica.

El punto decimal de 6 258.427, se corre tres lugares hacia la izquierda: 6.258.427= 6.258427 x 103. 3 lugares.

ACTIVIDADES 13 Encierra los números escritos en notación científica. Justifica tus respuestas.

• 45.86

• 4.86 x 104

• 0.86 x 10 – 5

• 42.06 x 108

• 9.04 x 1015

• 1.00 x 109

14 Escribe en notación científica los números siguientes.

• 560 000

• 0.00671

• 1 242.98

• 0.00039

• 402 365.87

• 0.000000001285

15 Escriban las siguientes cantidades en notación científica.

• Radio de la Tierra: 637 000 km.

• Masa de una partícula de polvo: 0.00001 kg.

• Distancia Tierra-Luna: 384 000 000 m.

• Masa de un glóbulo rojo: 0.0000000001 g.

• Traslación de Marte: 59 400 000 s.

• Velocidad de la luz: 299 792 458 m/s.

RADICACIÓN

1 Raíz cuadrada de un racional en forma

RECUPERACIÓN

fraccionaria ¿Cómo compruebas que 14 es la raíz cuadrada exacta de 196?

Una fracción cuadrada perfecta está formada por un numerador y un denominador que son números cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de una fracción cuadrada perfecta es la fracción cuyos numerador y denominador son las raíces cuadradas del numerador y el denominador de la fracción original.

EJEMPLOS RESUELTOS: 4 = 4 = 2 . 36

RECUERDA Cálculo de una raíz Obtener 529. 1. Se separan las cifras de 529, de derecha a izquierda y de dos en dos, pudiendo quedar una sola cifra a la izquierda: 5’29. 2. Se busca un número que elevado al cuadrado sea igual o menor que 5. Este número es el 2, que será la primera cifra de la raíz. Se resta 22 de 5: 5 – 22 = 1. Se bajan las siguientes dos cifras, 29: –4 129 3. Debajo del 2 se escribe su doble, 4 y se busca, por tanteo, un número N tal que 4N x N sea igual o menor que 129. Este número es el 3, la segunda cifra de la raíz. Se resta 43 x 3 de 129: 5’29 23 2 x 2 = 43

129

x 3

– 129

129

Así, 529 = 23.

81 = 84 = 9 . 7 49 49

121 = 121 = 11 . 3 9 9 9 = 9 = 3 . 5 25 25

Si el numerador o el denominador de una fracción no es un cuadrado perfecto, las raíces de uno u otro se dejan indicadas.

En la raíz 25 6 solo el numerador es un cuadrado perfecto, por lo que la raíz: 25 = 25 = 5 .

6 6 6 15 En la raíz 36 solo el denominador es un cuadrado perfecto, por lo que: 15 = 15 = 15 . 36 6 36

2 Raíz cuadrada de un racional en forma decimal

La raíz cuadrada de un racional en forma decimal se obtiene como la de un entero. Al llegar al punto decimal, se coloca un punto decimal a la raíz que ya ha sido encontrada.

5’29 2

–4

EJEMPLO RESUELTO: Obtener 46.24.

46’.24 6.8 – 36 2 x 6 = 128 10 24 x 8 – 10 24 1 024 0 Así, 46.24 = 6.8. En el caso en que el residuo no sea cero, se agregan dos ceros y se continúa el proceso agregándose otras cifras decimales a la raíz.

Calcula raíces cuadradas y efectúa operaciones con radicales.

3 Operaciones con expresiones radicales

MÁS INFORMACIÓN

Una expresión radical como 3 5 es una forma abreviada de escribir la multiplicación 3 x 5. Regularmente se presentan cuando el radicando no es un cuadrado perfecto. Se llaman radicales semejantes a las expresiones con iguales índice y radicando.

Las expresiones 4 3, 5 3 y – 8 3 son radicales semejantes. En todas está presente la raíz cuadrada de 3, que no es un cuadrado perfecto. Con los radicales semejantes se pueden efectuar operaciones de adición y sustracción. Estas operaciones se realizan solamente con los números que preceden a los radicales.

8 3 11 + (– 4) 3 11 – 2 3 11 = [8 + (– 4) – 2] 3 11 = 2 3 11.

20 )

La raíz cuadrada de un número racional que no es cuadrado perfecto puede escribirse en términos de la raíz de uno de sus divisores, que no sea cuadrado perfecto. Ejemplos: 75 = 25 x 3 = 25 x 3 = 5 3. Así, 75 queda expresada en términos de 3.

120 queda expresada en términos de 30.

5 7 + 4 7 = (5 + 4) 7 = 9 7.

Escritura de una raíz en términos de otra

120 = 4 x 30 = 4 x 30 = 2 30.

EJEMPLOS RESUELTOS:

2 2 – 3 2 = 2 – 3 (

3 8 = 3 4 x 2 = 3 4 x 2 = 6 2.

2=5 2 = 2. 20 4

Para multiplicar o dividir expresiones radicales se utilizan las propiedades: x x y = x x y ; x ÷ y = x ÷ y.

3 8 queda expresada en términos de 2.

EJEMPLOS RESUELTOS: 3 7 x (– 5 7 ) = [3 x (– 5)] 7 x 7 = – 15 49 = – 15 x 7 = – 105.

5 x 4 3 ) = (1 x 4) 5 x 3 = 4 15.

(– 24 3 16) ÷ (– 6 3 2) = [(– 24) ÷ (– 6)] 3 16 = 4 3 8 = 8.

Para multiplicar o dividir expresiones radicales, estas no tienen que ser semejantes.

ACTIVIDADES 16 Obtén, si existe, la raíz cuadrada de cada fracción o decimal.

• 4 81

• 121 169

•

3 49

• 1.96

• 7.84

• 151.29

•

4 225

• 2.81

• 25 3

• 32 18

• 0.5625

• 519.84

17 Calcula.

• 10 2 – 3 2

• 5+8 5–4 5

• 3 – 9 3 + (– 4 3)

• 18 + 5 2 – (– 8 2)

• 2 6 x (– 5 4 )

• 2 3 5 x 3 3 25

• 8 12 ÷ 5 3

• 15 3 75 ÷ 5 3 25

ACTIVIDADES

18 Escribe en tu cuaderno, tres fracciones equiva-

lentes de cada número racional.

4 (– 5)

–3

(– 9) (– 3)

7 15

10 (– 9)

12 17

19 Escribe cada fracción en forma decimal.

5 4

49 32

3 8

27 16

24 Construye …

… un número racional comprendido entre 0.05 y 0.06. … tres números racionales comprendidos entre 1 3

y 2 .

25 Explica por qué son equivalentes las afirmacio-

17 45

172 990

20 Ordena los números racionales siguientes

nes siguientes. Entre dos números racionales cualesquiera, siempre hay otro racional. Entre dos números racionales cualesquiera, hay infinitos números racionales.

como se te indica. 26 Efectúa las operaciones siguientes.

De menor a mayor: 11 4

78 25

– 2.5

– 78

2.8

De mayor a menor: 2.77 …

– 5

15 3

99 20

– 4.73

21 Representa gráficamente.

3 4

– 2.5

7 2

– 42

– 5 8

(–

2 9

)

+ (– 5 6

)

– 8 + 5 3 12

(–

3 5

)

(–

5 6

)

x 2 7

[(–

5 6

(–

2 5

)

(–

3 4

)

–1

(8)

(5)

–3

(9)

(3)

28 Determina.

6 32

67 33

(3)

32 99

65 900

17 30

(–

3 16

12 45

379 500

23 Obtén la fracción generatriz de cada uno de los

2 5

)

x 3

(3) x

(–

2 5

)

– 27 8

36 196

30 Calcula.

0.24

1.0101…

0.3232…

3.25

5.244…

0.123123…

4.85

0.6711…

8.2055…

(9)

( 11 )

÷ ÷

5 – 9 5 + 12 5 3

24 + 9 3 3 + 6 3 81

(3 6 x 5 2 x 3) ÷ (– 9)

–2

(9) 6

( 11 )

29 Obtén las raíces siguientes.

números decimales siguientes.

]

( 8 ) ÷ (0.25 + 3.40 – 1.5)

22 Clasifica los decimales equivalentes a las frac-

9 5

3 + 149 5 60

27 Calcula las potencias siguientes.

– 5.6

ciones siguientes.

8 x 9

–6

0.45

125 64

Competencias fundamentales

COMPETENCIA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA 31 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

El tiempo que tarda la pesa de un péndulo en salir de uno de sus extremos y regresar a el, se llama período. El período depende del largo del hilo o la barra metálica que sostiene la pesa.

La unidad de energía gastada por un aparato es el kilovatio-hora (kWh). La energía se calcula multiplicando la potencia por el tiempo en funcionamiento.

Si un péndulo tiene un largo L, en metros, su período T, en segundos, se calcula con la expresión: T=2 L Completa la tabla. Largo (en metros)

32 Fíjate en la tabla y, luego, calcula.

Período (en seg)

1 16 1 4

1 4 9 Resuelve el problema.

Electrodoméstico

Potencia (en kW)

Televisión

0.12

Nevera

0.19

Computadora

0.30

Licuadora

0.45

Lavadora

1.20

La televisión de un hogar se mantiene encendida un promedio de 480 horas al mes. ¿Cuántos kilovatios-hora gasta mensualmente la televisión? ¿Cuál es el consumo de energía mensual de una nevera? Se asume que la nevera se mantiene encendida todo el tiempo. ¿Cuántas horas de uso en un mes tuvo una licuadora si consumió en ese período unos 1.8 kWh? ¿Qué beneficios tiene el análisis del consumo de energía en los hogares?

Un anticuario está reparando un antiguo reloj de pared que tiene una varilla de 0.36 m de largo. • Emplea la expresión T = 2 L para obtener el período del péndulo del reloj. • Si quisiera que el período del péndulo fuera el doble, ¿cuál debería ser el largo de su varilla? • Si buscara reducir el período a la mitad, ¿qué largo daría a la varilla? Explica en el grupo qué hiciste para responder en cada caso.

EVALUACIÓN 39 Construye cinco números racionales compren-

Comunica

didos entre … 33 Escribe el signo < , = o > entre cada par de

• … – 0.5 y – 0.51

números. • –5

– 4.95

4 • 5

39 50

3 • 10 16 • 45

15 50 0.355 …

ciación y la radicación.

•

(y )

•

= x yn

xxy=

•

xxy=

•

(7 )

•

(–

•

(5 )

3 4

(7)

x (– 3 4

(5)

)

–7

–8

(7) 2

x (– 3 4

)

(5)

–7

)

41 Obtén el resultado en cada caso.

Modela y representa

• – 5 3 + 2 12 –

35 Representa en una recta numérica cada uno de

los números racionales siguientes. •

1 100

40 Efectúa.

34 Enuncia las siguientes propiedades de la poten-

• (x x y)n = xn x yn

• …0 y

5 4

•

3 10

• (2 11) x (– 3 11) • (– 8 7) ÷ (– 2 28)

• – 3.8

• 8

3 + 27

• – 3

• 5

Razona y argumenta 42 Explica por qué no existe un número x que haga

36 Escribe los siguientes números decimales en

verdadera a la igualdad x2 = – 16.

forma de fracción. • 0.345

• 1.2323…

• 0.12323…

• 1.082

• 0.099…

• 5.1033…

37 Efectúa las operaciones.

1 – – 1 2 3

(

) + (–

3 4

)–

•

(– 6) x ( – 5 ) x ( 4 ) 12 15

•

(–

8 5

6 5

44 Escribe en notación científica los valores de las

siguientes magnitudes físicas.

) ÷ ( 16 )

• Peso de un elefante adulto: 6 500 kg.

38 Obtén las potencias siguientes.

•

( 15 )

•

1 6

–3

( )

43 Resuelve el problema.

La potencia, P, de un aparato eléctrico depende del cuadrado de la corriente eléctrica, i, que pasa a través suyo. La potencia de una plancha eléctrica, en vatios, se calcula con P = 20 x i2. La corriente se mide en amperios. ¿Qué corriente circula por la plancha si su potencia se estima en unos 1 200 vatios?

Usa algoritmos

•

Conecta

•

(–

5 4

• (– 3 5

• Velocidad del sonido en el aire: 34 400 cm/s. 3

)

–4

)

• Espesor de un cabello : 0.00007 m. • Longitud de una bacteria: 0.0000002 mm • Peso de un colibrí : 0.00725 kg.

Medición de logros

45 Estudio de caso. Lean y, luego, hagan lo que se les pide. 39

En todo proceso de medida son inevitables los errores. Esos errores tienen distinta procedencia: la limitada precisión, defectos e imperfecciones del mismo; factores ambientales, accidentes o poca destreza de quienes miden. Para obtener la medida de una magnitud deben realizarse varias pruebas, con el fin de tener una idea de su valor más probable. Este valor más probable es la media aritmética de los resultados obtenidos en cada prueba. • Hagan cinco mediciones, con una regla graduada en centímetros, de la longitud de un mismo objeto y anoten los resultados obtenidos. ¿Fueron iguales esos resultados? • Sumen todos los resultados y dividan la suma obtenida por 5. Este cálculo proporciona el valor más probable de la longitud del objeto. • Calculen el error absoluto, E, de las medidas obtenidas en cada prueba: E = Valor obtenido – valor más probable. 46 Piensa y, luego, responde.

• ¿Qué importancia concedes a la ciencia y la tecnología? • ¿Aceptas sus innovaciones de inmediato o piensas en sus posibles consecuencias para la vida humana? • ¿Por qué es recomendable que los avances científicos y tecnológicos se evalúen antes de ser aceptados?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 47 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Identifico, represento y ordeno números racionales. • Obtengo la fracción generatriz de un decimal. • Efectúo correctamente operaciones con racionales. • Escribo números en notación científica. • Resuelvo problemas con números racionales. 48 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Consideras que te será útil en la vida cotidiana lo aprendido en esta unidad?¿Por qué? • ¿En cuáles situaciones de tu vida diaria utilizarías números racionales?

Variación proporcional

Punto de partida Sandra estaba en el jardín de su casa y observó en un arbusto un insecto muy colorido y a su lado un paquetito de pequeños huevos blancos. Contó hasta 15 de esos pequeños huevos. Reparó que, en algunas otras ramitas, más insectos de la misma clase habían puesto el mismo número de huevecillos. Contó 8 insectos. Se preguntó: ¿Estos insectos le harán algún daño a la planta?¿Cuántos huevecillos habrá en total? Tal vez, pensó, estos insectos traigan beneficios a la planta. Había leído que algunos insectos sirven para controlar o eliminar las plagas. ¿Has escuchado hablar del control

biológico de plagas?

Conceptos y procedimientos Razones

y proporciones. Magnitudes directa-

mente proporcionales. Magnitudes inversa-

mente proporcionales. Regla de tres. Porcentajes. Interés simple.

Actitudes y valores Muestra interés por la

investigación. Aprecia la búsqueda de

la verdad.

¿Qué ventajas tiene para la salud

del medio ambiente?

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS Responde. ¿Cómo varía el número de huevecillos conforme aumen-

ta el número de insectos? ¿Cómo escribirías mediante una razón la afirmación:

hay 8 huevecillos por cada insecto? Completa la tabla.

Número de insectos

Número de huevos

OBSERVACIÓN ¿Conoces algunos de los insectos mostrados en las ilus-

traciones de estas páginas? ¿Qué importancia tienen los insectos para la sostenibilidad

de la vida en nuestro planeta? ¿En cuáles lugares los has visto? ¿Cuántas especies distintas de insectos existen?

Investígalo.

PROPORCIONES

RECUPERACIÓN Escribe las afirmaciones siguientes en forma de razón. • En el gimnasio hay 5 mujeres por cada 4 hombres. • Por cada 10 kilovatios-hora de energía se pierden 2. • Por cada 2 libras de azúcar, 3 libras de harina.

1 Proporciones

La razón de dos cantidades, x e y, es el cociente entre ellas. Este cociente se presenta en forma indicada, x y . La razón anterior también se representa mediante la expresión: x : y. Una proporción es la igualdad de dos razones. Si x, y, z y w son cuatro cantidades, una proporción entre ellas se esz cribiría: x y = w . Otra forma de representar a la proporción anterior es: x : y : : z : w. Fíjate en los siguientes ejemplos de proporciones. EJEMPLOS: 4 = 12 . Ambas razones son iguales a 2.

5 = 20 . Ambas razones son iguales a 0.625.

1 = 8 . Ambas razones son iguales a 0.33...

2 Medios y extremos de una proporción z A las cantidades x y w en la proporción x y = w se les llama extremos. A las cantidades y y z se les llama medios.

Así, en la proporción 5 = 20 , 5 y 32 son los extremos; 8 y 32 8 20 son los medios. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: x x w = y x z.

EJEMPLOS RESUELTOS: En la proporción 5 = 20 :

5 x 32 = 8 x 20

160 = 160.

En la proporción 3 = 12 :

3 x 28 = 7 x 12

84 = 84.

Esta propiedad de las proporciones permite saber si una igualdad de razones es o no una proporción. Equivale a la multiplicación en cruz utilizada para establecer la igualdad o equivalencia de dos números racionales en forma de fracción. 48

Identifica y representa proporciones y calcula sus términos.

3 Proporciones equivalentes

MÁS INFORMACIÓN

z Si en la proporción x y = w se intercambian las posiciones de los extremos, x y w; de los medios, y y z, o de los extremos y los medios entre sí, se obtienen: w = z x y

x = y w z

Media proporcional Cuando dos extremos o dos medios de una proporción son iguales, a dichos extremos o medios se les llama media proporcional.

y = w x y

Estas proporciones son equivalentes a la original.

Ejemplos:

EJEMPLOS: 6 = 24 , es equivalente a: 12 = 24 .

3 = 6

Una proporción como la de los ejemplos, con dos extremos o dos medios iguales, es una proporción continua.

, es equivalente a: 4 = 8 . 3

En la proporción 12 = 72 , el 12 es la media proporcional.

4 = 36 , es equivalente a: 4 = 5 .

En la proporción 9 = 6 , el 6 es la media proporcional.

En una proporción continua, una media proporcional desconocida es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos o los medios conocidos.

4 Cuarta proporcional

Una cualquiera de las cuatro cantidades o términos de una proporción es una cuarta proporcional. Un extremo desconocido se calcula dividiendo el producto de los medios por el extremo conocido. Un medio desconocido se obtiene dividiendo el producto de los extremos por el medio conocido. EJEMPLOS RESUELTOS: Si x = 20 , entonces: x = (9 x 20) = 5.

Si 4 = x , entonces: x = (4 x 49) = 28.

ACTIVIDADES 1 Construye una proporción a partir de las razones siguientes.

• 9

• 12

• 18

•

1 21

•

6 35

• 21 6

2 Escribe una proporción equivalente a cada una de las proporciones dadas.

• 2 = 12 3

• 7 = 35

• 9 = 72

•

6 = 48 17 136

3 Calcula el término desconocido de cada proporción.

•

x = 27 63 7

x • 9 = 5

•

x = 27 x 3

•

2 = 8 15 x

• 11 = 4 x

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

1 Proporcionalidad directa

RECUPERACIÓN Completa la tabla. x4 3

……

Un entomólogo comprobó en una investigación que la población de un insecto que ataca a los cultivos de habichuela se duplica cada semana. Con los datos reunidos durante su investigación construyó la siguiente tabla de variación: Tiempo (en semanas)

Población del insecto

250

500

750

1 000 1 250 1 500

La tabla muestra que cada semana el número de insectos aumenta en 250 individuos. Si representamos al tiempo con la letra X y a la población de insectos con la letra Y, entonces: Y = 250 x X. Las magnitudes tiempo, X, y población, Y, se llaman variables. El número X = 250 es la constante de proY porcionalidad directa: X = 250 = 500 = 750 = … … = … … … = 250. Y 1 2 3 Si dos magnitudes variables, X e Y, están relacionadas mediante una expresión del tipo Y = constante x X, dichas magnitudes son directamente proporcionales.

2 Propiedades de la proporcionalidad directa

1 En una proporcionalidad directa, al multiplicar (o dividir) a la variable X por un número n, la variable Y queda multiplicada (o dividida) por el mismo número n: Y’ = constante x (n x X) = n x (constante x X) = n x Y. RECUERDA

Si se multiplica X = 2 por n = 3, en Y = 250 x X:

Tablas de variación proporcional

Y = 250 x (3 x X) = 250 x (3 x 2) = 3 x 500 = 1 500.

Una tabla de variación proporcional muestra en una columna o fila los valores de una magnitud X y en otra columna o fila los correspondientes valores de otra magnitud Y, ambas relacionadas mediante una variación proporcional.

2 La suma de dos valores distintos de la variable Y, Y1 + Y2 es directamente proporcional a la suma de los correspondientes valores de la variable X, X1 + X2: Y1 + Y2 = constante x (X1 + X2). En la tabla, si se suman Y1 = 500 e Y2 = 750: Y1 + Y2 = 500 + 750 = 250 x 2 + 250 x 3 = 250 x (2 + 3).

Reconoce y representa gráficamente una proporcionalidad directa.

3 Representación gráfica de una

proporcionalidad directa Si se representan los valores de la variable X de la tabla anterior sobre una recta horizontal y los de la variable Y sobre una recta vertical, la proporcionalidad directa entre las variables Y = 250 x X puede representarse gráficamente. Y

Primero, se construye una cuadrícula con los valores de X e Y de la tabla de variación proporcional.

Plaga. La expansión de una plaga sigue pautas matemáticas.

1 750 1 500 1 250 1 000 750 500 250

MÁS INFORMACIÓN

Obtención de la constante de proporcionalidad en una gráfica

1 2 3 4 5 6

Luego, se marcan puntos (X, Y) que corresponden a los valores de cada una de las columnas de la tabla:

En una gráfica, la constante de proporcionalidad es el cociente de la altura Y del triángulo y su base X.

1 750 1 500 1 250 1 000 750 500 250

Ejemplo:

La constante de proporcionalidad en la gráfica siguiente es 34 .

1 2 3 4 5 6

Finalmente, se unen los puntos (X, Y) y el resultado obtenido es una línea recta, que es la representación gráfica de la proporcionalidad directa.

1 750 1 500 1 250 1 000 750 500 250 0

Y=3 x

X=4 x

1 2 3 4 5 6

ACTIVIDADES 4 Identifica las tablas que representan proporcionalidades directas.

1.5

2.5

12.5

37.5

2.4

5.6

14.4 33.6

5 Representa gráficamente las siguientes relaciones de proporcionalidad directa.

• Y=3xX

• Y = 0.5 x X

• Y= 3 xX 4

• Y = 400 x X

6 Explica, en tu cuaderno, por qué la distancia recorrida por un vehículo con rapidez constante es di-

rectamente proporcional al tiempo transcurrido.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

RECUPERACIÓN

1 Proporcionalidad inversa

Resuelve el problema siguiente y, luego, describe qué hiciste para resolverlo.

Conforme se comprime un gas en un recipiente herméticamente cerrado, aumenta la presión en las paredes del recipiente.

Si un grupo de 5 albañiles construye una pared en 4 días, ¿en cuántos días la hubieran construido 10 albañiles?

En un experimento de laboratorio, un grupo de estudiantes midió el volumen, en centímetros cúbicos; y la presión, en atmósferas, de un gas confinado en un tubo de vidrio y construyó la tabla siguiente: Volumen (en cm3)

7.5

Presión (en atm)

7.5

En la tabla se observa que una disminución del volumen del gas tiene como efecto un aumento en su presión. El aumento de una de las variables medidas en el experimento está relacionado con la disminución de la otra. Si el volumen se representa con la letra X y la presión con la letra Y, de la observación atenta de la tabla se infiere que: X x Y = 15. En este caso, el producto de los valores de una columna de la tabla no varía, es 15. El número 15 es la constante de proporcionalidad: X x Y = 15 x 1 = 7.5 x 2 = 5 x 3 = … … … = 15. Dos magnitudes variables, X e Y, relacionadas mediante una expresión del tipo Y = constante , son inversamente proporcionales. X

2 Propiedades de la proporcionalidad inversa

1 En una proporcionalidad inversa, al multiplicar (o dividir) a la variable X por un número n, la variable Y queda dividida (o multiplicada) por el mismo número n: Y’ = constante = (constante x X) = Y . (n x X)

n 15 : Si se multiplica X = 2 por n = 5, en Y = X = (15 ÷ 2) = 7.5 = 1.5. Y’ = 15 (5 x X) 5 5

2 La suma de dos valores distintos de la variable Y, Y1 + Y2, es inversamente proporcional a la suma de los correspondientes valores de la variable X, X1 + X2: constante

Y1 + Y2 ≠ (X + X ) . 1 2 52

Reconoce y representa gráficamente una proporcionalidad inversa.

3 Representación gráfica de una

proporcionalidad inversa Como se hizo con la proporcionalidad directa, si se representan los valores de la variable X de la tabla anterior sobre una recta horizontal y los de la variable Y sobre una recta vertical, la proporcionalidad inversa entre las variables, Y = 15 , puede ser representada gráficamente. X

Primero, se construye una cuadrícula con los valores de X e Y de la tabla de variación proporcional: Compresión de un gas. Al reducir el volumen de un gas encerrado, crece su presión.

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

Luego, se marcan puntos (X, Y) que corresponden a los valores de cada una de las columnas de la tabla: Y 8 7 6 5 4 3 2 1

Y 8

7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

Finalmente, se unen los puntos (X, Y) y el resultado obtenido es una línea curva, que es la representación gráfica de la proporcionalidad directa. Esta línea curva se llama hipérbola.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

ACTIVIDADES 7 Identifica las tablas que representan proporcionalidades directas.

1.25

1.5

3.5

0.25 0.50 3

1.50 0.75 0.15

8 Representa gráficamente las siguientes relaciones de proporcionalidad inversa.

1 • Y= X

4 • Y= X

• Y = 0.5 X

• Y = 20 X

9 Explica, en tu cuaderno, por qué la velocidad de un vehículo que recorre una distancia fija es inver-

samente proporcional al tiempo transcurrido.

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

RECUPERACIÓN Analiza y, luego, responde la siguiente pregunta. ¿Cómo distingues las dos clases de proporcionalidad entre dos variables?

1 Regla de tres

Hay numerosos problemas en los que están presentes magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres y se desconoce una. Estos problemas se resuelven mediante la llamada regla de tres, que consiste en determinar el cuarto término de una proporción si se conocen tres de ellos. Antes de aplicar la regla se identifica si se está en presencia de una proporcionalidad directa o inversa. 2 Problemas de proporcionalidad directa

Observa en los ejemplos siguientes cómo se aplica la regla de tres en los problemas que involucran una proporcionalidad directa. EJEMPLOS: Al colgar un objeto de 15 libras de peso en un dinamó-

metro, su resorte se estiró 3 centímetros. ¿Cuánto se estiraría el resorte si se colocara un objeto de 25 libras? Para resolver el problema construimos la siguiente tabla, en la que se muestran las tres magnitudes conocidas junto a la magnitud desconocida representada por la letra x. Peso (en lb) 15 25

Estiramiento (en cm) 3 x

A partir de la tabla se construye la siguiente proporción, tomando en cuenta el sentido de las flechitas rojas de cada columna: 25 = x . 15

3 25 x 3 = 5 cm. El resorte se estiraría: x = 15

Un vehículo recorre 80 kilómetros en 45 minutos. Si

mantiene la misma velocidad, ¿en qué tiempo recorrerá 120 kilómetros? Tiempo (en min) 45 x

Distancia (en km) 80 120

La proporción correspondiente es: x = 120. 45

El tiempo buscado es: x = 67.5 minutos.

Resuelve problemas utilizando la regla de tres.

3 Problemas de proporcionalidad inversa

Fíjate cómo se utiliza la regla de tres para resolver problemas de proporcionalidad inversa en los ejemplos siguientes. EJEMPLOS: En una finca modelo hay 250 bueyes que consumen

una provisión de forraje en 20 días. ¿En qué tiempo consumirán la misma provisión 400 bueyes? Para resolver el problema construimos la siguiente tabla. Observa que las flechitas rojas tienen sentidos contrarios porque la proporcionalidad es inversa. Número de bueyes 250 400

Tiempo (en días) 20 x

A partir de la tabla se construye la siguiente proporción, tomando en cuenta el sentido de las flechitas rojas de cada columna: 400 = 20 . 250 x

El tiempo buscado es: x = 250 x 20 = 12.5 días. 400

La mayor de las ruedas dentadas del engranaje de una

bicicleta tiene un radio de 10 cm y la menor un radio de 6 cm. La mayor da menos vueltas por unidad de tiempo que la menor. ¿Cuántas vueltas da la rueda mayor cuando la menor da 250 vueltas? Radio (en cm) 10 6

Número de vueltas x 250

La proporción correspondiente es: 6 = x . 10

250

El número de vueltas de la rueda mayor es: x = 150.

ACTIVIDADES 10 Resuelve los siguientes problemas.

• Un carro que se mueve con velocidad constante recorre 120 km en una hora y 15 minutos. ¿En qué tiempo recorrerá el carro una distancia de 160 km?

• Una cisterna se llena en 3 horas y media utilizando 2 mangueras de agua funcionando juntas y con el mismo caudal. ¿Con cuántas mangueras se llenará la cisterna en 1 hora?

PORCENTAJES

RECUPERACIÓN Completa la razón de la derecha. 30 = …… 100 10 60 = 3 100 …… 5 = 1 100 …… 24 = …… 100 25

1 Concepto de porcentaje

Un porcentaje o tanto por ciento de una cantidad es una parte de dicha cantidad, representada como una fracción de denominador 100. El símbolo utilizado para designar un porcentaje es: %. EJEMPLOS: El 25% es equivalente a 25 partes de una totalidad. 25 100 1

Como al simplificar 100 nos queda 4 , el 25% de una totalidad es una cuarta parte de dicha totalidad.

El 40% es equivalente a las 40 partes de una totalidad. 100

Como 100 = 5 , el 25% de una totalidad son dos quintas partes de la misma.

2 Cálculo de porcentajes Para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica la fracción de denominador 100 que representa dicho porcentaje por la cantidad.

25%

EJEMPLOS: Obtener el 15% de 420.

Si una totalidad se representa como 100, 25 partes de esa totalidad representan su 25%.

Para determinar qué número x es el 15% de 420 se efectúa la multiplicación siguiente: x = 15 x 420 = (15 x 420) = 6 300 = 63. 100

100

Determinar el 32% de 625.

x = 32 x 625 = (32 x 625) = 20 000 = 200. 100

100

Como un porcentaje equivale a una fracción de denominador 100, dicho porcentaje puede ser escrito en forma decimal. EJEMPLOS: 25% = 25 = 0.25

175% = 175 = 1.75

54.8% = 0.548

0.35% = 0.0035

100

Para calcular porcentajes se puede utilizar la forma decimal. Así, el 45% de 480 se obtiene multiplicando 0.45 por 480: 45% de 480 = 0.45 x 480 = 216. 56

Calcula correctamente porcentajes de cantidades.

3 Cálculo de una totalidad a partir

RECUERDA

del porcentaje y la parte correspondiente Porcentajes mayores que el 100%

Conocidos el porcentaje y la parte del todo que este representa, es posible determinar cuál es dicha totalidad. Este es el problema inverso al cálculo de un porcentaje.

Un porcentaje mayor que el 100% indica una cantidad mayor que la totalidad de referencia.

Para determinar de qué totalidad una cantidad es un porcentaje conocido, se multiplica la cantidad por 100 y el producto obtenido por el porcentuales porcentaje. 4se divide Cambios

Ejemplos resueltos: El 150% de 80 es 120.

EJEMPLOS:

El 200% de 150 es 300.

¿De qué cantidad x, 75 es el 40%?

El 350% de 540 es 1 890.

x = 75 x 100 = 7 500 = 187.5. 40

El 40% de x = 187.5 es 75. Si una magnitud M experimenta un aumento porcentual de un x%, el nuevo valor M’ de dicha magnitud es el resultado de multiplicar M por 1 + x : M’ = M x 1 + x .

( 100 )

Si la magnitud M sufre una disminución porcentual de un x%, su nuevo valor M’ se obtiene con: M’ = M x 1 – x .

( 100 )

EJEMPLOS: Ángel pesaba antes de irse de vacaciones 92 libras.

Durante las vacaciones, su peso subió un 4%. ¿Cuál es el nuevo peso de Ángel?

( 100 )

Nuevo peso = 92 x 1 + 4 = 92 x 1.04 = 95.68 libras.

ACTIVIDADES 11 Representa gráficamente los siguientes porcentajes.

• 20%

• 35%

• 62%

• 85%

• 120%

12 Calcula.

• El 75% de 120.

• El 62% de 500.

• El 0.18% de 625.

• El 95% de 73.4.

• De qué número es 32 el 30%.

• De qué número es 150 el 4%.

• De qué número es 4.75 el 25%.

• De qué número es 8 el 0.20%.

13 Resuelve los problemas. Comprueba tus resultados.

• El peso de un objeto en el Polo Norte es 0.53% mayor que en el ecuador. ¿Cuánto pesa en el Polo Norte un objeto de 50 libras en el ecuador?

• Un resorte de 25 cm comprime su longitud en un 35%. ¿Cuál es la nueva longitud del resorte después de comprimirlo?

INTERÉS SIMPLE

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. • ¿Has escuchado hablar de préstamos a un tanto por ciento de interés? • ¿Qué significado tiene para ti la palabra interés en el ámbito bancario?

1 Concepto de interés simple

Una cuenta de ahorros genera intereses, que son una cierta cantidad de dinero que paga el banco al ahorrante por su depósito. El banco usa el depósito del ahorrante para desempeñarse en sus múltiples operaciones y paga intereses por ese uso. Ocurre lo inverso cuando el banco presta dinero: cobra intereses al cliente por el uso de un dinero que no es suyo. El interés simple se genera sobre depósitos o préstamos de dinero fijos. Esta clase de interés depende del capital (dinero depositado o tomado de un banco en calidad de préstamo), C; del porcentaje o tasa de interés, r %, y del tiempo, t, expresado en años. Para calcular el interés simple I generado por el depósito de un ahorrante o un préstamo a un cliente, en un año, se utiliza la siguiente expresión: I = C x r % x t. Los intereses generados o por pagar en fracciones de año se calculan con: I = (C x r % x t) (cálculo por días).

365 I = (C x r % x t) (cálculo por meses). 12

EJEMPLOS: Daniel abrió una cuenta de ahorros con un depósito o

capital inicial de RD$ 2 500.00. Si el banco paga a sus ahorrantes a una tasa de interés anual de un 6.2 %, ¿a cuánto asciende el interés generado por el capital depositado al cabo de 5 años? Aquí: C = RD$ 2 500.00; r % = 6.2 % = 0.062; t = 5 años. Entonces, el interés generado al cabo de 5 años es: I = RD$ 2 500 x 0.062 x 5 años = RD$ 775. Sandra tomó prestados a un banco RD$ 15 000.00. El

banco presta dinero a una tasa de interés simple anual de 16 %. ¿Cuánto pagará Sandra de interés al banco al cabo de 6 meses? C = RD$ 15 000.00; r % = 0.16; t = 6 meses = 0.5 año. En 6 meses, Sandra pagará al banco: I = RD$ 15 000 x 0.16 x 0.5 año = RD$ 1 200.

Resuelve problemas relacionados con el interés simple.

2 Monto simple

MÁS INFORMACIÓN

Al cabo de un determinado tiempo, llamado período de capitalización, los bancos suman el interés generado al capital inicial depositado por el ahorrante. El monto simple es la suma del capital inicial y los intereses producidos en un período de tiempo determinado.

El monto simple M se calcula con: M = C x (1 + r % x t).

Cálculos del tiempo y de la tasa de interés El tiempo, t, necesario para obtener con un capital inicial, C, y a una tasa de interés simple de un r%, un determinado interés I se calcula con: t=

EJEMPLOS: Calcular el monto de un depósito de RD$ 25 000.00 a una

tasa de interés anual de un 6% al cabo de 2 años. C = RD$ 25 000.00; r % = 0.06; t = 2 años. M = RD$ 25 000.00 x (1 + 0.06 x 2 años) = RD$ 28 000.00 Al cabo de 2 años, el ahorrante tendrá RD$ 28 000.00. 3 Valor presente a interés simple

Si un ahorrante busca tener un monto, M, al cabo de un tiempo, t, y a una tasa de interés de un r %, el capital, C, que debe depositar para lograr ese monto se llama valor presente. El valor presente se calcula con: C =

I (C x r %) .

La tasa de interés, r%, a la que debe depositarse un capital, C, para obtener en un tiempo, t, un determinado interés simple I, se calcula con: r%=

I (C x t)

El tiempo y la tasa de interés en relación con el monto simple, M, se calculan, respectivamente, con: t = (M – C) . (C x r %) r%=

(M – C) (C x t)

M . (1 + r % x t)

EJEMPLOS: ¿Qué capital debe depositarse en una cuenta de aho-

rros para tener un monto de RD$ 38 150.00, al cabo de 18 meses, a una tasa de interés simple de un 6 % anual? M = RD$ 38 150.00; r % = 0.06; t = 18 = 1.5 años.

12 RD$ 38 150.00 El depósito debe ser: C = = RD$ 35 000.00. (1 + 0.06 x 1.5)

ACTIVIDADES 14 Resuelve los problemas. Luego, compara tus resultados con los de tus compañeros.

• En una cuenta de ahorros, a una tasa de interés • Luis depositó en sus ahorros RD$ 5 000 a un 6.2 % de un 5.98 % se depositan RD$ 8 600.00 inicialde interés simple anual. ¿Qué tiempo debe pasar mente. ¿Qué interés genera el capital depositapara tener un monto simple de RD$ 6 550? ¿A qué do al cabo de 200 días y cuánto asciende el tasa de interés hubiera conseguido, en ese tiempo, monto simple en ese período de tiempo? un monto de RD$ 6 700?

ACTIVIDADES

15 Identifica y, luego, encierra las proporciones.

4 = 36

5 = 60

2 = 30

3 = 36

12 = 24

1 = 4

130

280

16 Construye una proporción, con cada razón.

0.2

1.75

2.5

0.06

17 Completa dos proporciones equivalentes a cada

proporción dada. 2 = …… = ……

8 = …… = ……

3 = …… = ……

14 = …… = ……

……

18 Determina los términos desconocidos de las

proporciones siguientes. x = 20

4 = 24

7 = x

12 = 72

x = 9

15 = 3

135

19 Piensa y, luego, escribe en tu cuaderno tres pro-

porciones continuas. 20 Determina la media proporcional desconocida

en las siguientes proporciones. x = 27

5 = x

x = 27

11 = x x 44

x = 13 52 x

64 = x x 16

21 Comprueba, partiendo de una proporción cual-

quiera, a = c , que la expresión siguiente se d b cumple: (a+ c) = a = c (b + d)

22 Calcula el valor de x de cada proporción.

(x +2) = 15 8

5 = (x +20) 7 98

9 = 3 (x + 8) 5

40 = 5 (110 – x) 13

23 Completa la tabla de proporcionalidad.

X Y

5 12.0 14.4

14 33.6 36.0 48.0

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

24 Grafica en una misma cuadrícula las proporcio-

nalidades directas siguientes. Luego, responde. y=4xx

y=2xx

y=5xx

¿Cuál de las representaciones gráficas tiene mayor inclinación respecto al eje x? 25 Identifica la clase de proporcionalidad, si la hu-

biera, entre cada par de variables. Los galones de gasolina que llenan el tanque de un carro y el dinero necesario para llenarlo. La velocidad con que se mueve un vehículo y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia. La distancia recorrida por un vehículo que se mueve con rapidez constante y el tiempo transcurrido. El área de una pelota de béisbol y el tiempo que dura un partido. 26 Resuelve los problemas de proporcionalidad.

En un hotel un grupo de 54 personas ha consumido 18 barras de pan. ¿Cuántas barras se necesitarán para 72 personas? 60 albañiles trabajando juntos construyen una muralla en 7 días. ¿Con cuántos albañiles se hubiera construido la muralla en 5 días? El embalse de una presa está lleno hasta el 80 % de su capacidad. Si tiene 125 hm3 de agua, ¿cuántos hm3 le faltan al embalse para llenarse? 27 Resuelve los problemas.

Don Marcos toma un préstamo de RD$ 75 000.00 a un plazo de 5 años. El interés que le cobrará el banco es de un 12.5 % anual. ¿Cuánto pagará de interés a mitad del plazo? María quiere ahorrar en una cooperativa para obtener RD$ 60 000 al cabo de 5 años. ¿De cuánto deberá ser el depósito inicial si la cooperativa paga un 10 % de interés anual? Inés depositó RD$ 37 500.00 en su cuenta de ahorros y al cabo de 4 años había alcanzado un balance RD$ 45 000.00. ¿A qué tasa de interés simple anual depositó Inés?

Competencias fundamentales

COMPETENCIA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA 28 Lee, observa la tabla y, luego, responde.

29 Resuelve los problemas.

En el año 2000 la población dominicana se estimaba en unos 8 620 870 habitantes. Si la emisión per cápita de gases de invernadero para ese año se estimaba en unas 2.28 toneladas, ¿cuántas toneladas de gases invernadero se emitieron en la atmósfera? El calentamiento global es un problema que impacta sobre la vida en la Tierra. El aumento de la temperatura media del planeta es provocado, fundamentalmente, por la emisión de gases de efecto invernadero (GEI) producidos por el uso de combustibles fósiles en la industria y el transporte. Nuestro país es signatario de acuerdos globales para reducir la presencia en la atmósfera de GEI. ¿Reconoces al calentamiento global como un problema que afecta a nuestro país? ¿Qué tendencia ha sido dominante en lo que toca a la emisión de GEI en nuestro país? ¿Qué significado tiene la expresión emisión per cápita y cómo se calcula?

30 Piensa y, luego, responde.

Del año 2000 al 2010 disminuyeron las emisiones per cápita de GEI en nuestro país. ¿Disminuyó la cantidad de GEI vertida en la atmósfera? ¿Qué harías para saberlo? ¿La emisión de GEI en el año 2010 disminuyó en relación con la emisión del año 2000? 31 Haz lo que se te pide.

Grafica los cambios porcentuales de cada década en un esquema como el del modelo. Los aumentos son positivos, las disminuciones negativas. Cambio porcentual de emisiones

¿Cómo se calcula la emisión de GEI per cápita por año?

1960-1970

Años

Emisión de CO2 (t por habitante)

¿Qué medidas podrían reducir la emisión de GEI en el entorno? Coméntalas en el grupo.

1970-1980

2.28

2.09

1.32 1.03

0.76 0.31

1960 Población 3 231 488

1970 4 422 755

1980 5 696 852

1990 7169 846

2000 8 620 870

Años 2010 9 445 281

EVALUACIÓN Comunica 32 Construye, a partir de cada razón, una frase que

39 Calcula el valor de x en cada proporción.

muestre una relación entre dos variables. 5 • 8

10 • 3

•

15 • 24

• 2.5

• 0.12

•

8 24 = (x – 2) 21 5 (x + 20) = 8 96

•

(x – 1) 30 = 12 72

•

7 42 = 9 2x

33 Escribe las proporciones de dos modos distintos.

•

2 = 16 5 40

21 = 84 • 4 16

•

8 = 10 5 6.25

(Video) V Sit Figure Eight - Kettlebell

34 Enuncia la siguiente ley de los gases, refirién-

dote al tipo de proporcionalidad presente.

Presión en un gas =

Constante Volumen del gas

40 Completa la tabla de proporcionalidad y, luego,

represéntala gráficamente. x y

2 8

2.5

3.2

1.6

Conecta 41 Resuelve los problemas siguientes.

Modela y representa 35 Representa en una tabla los siguientes resulta-

dos extraídos de un informe de investigación. • Los cambios observados en una variable A en relación con otra variable B fueron los siguientes: A toma el valor 9, cuando B vale 12; A toma el valor 11.25, cuando B vale 15; A toma el valor 13.25, cuando B vale 18.

Usa algoritmos 36 Identifica la clase de proporcionalidad entre las

variables A y B de la actividad anterior y, luego, obtén su constante de proporcionalidad. 37 Obtén el valor de x en cada proporción.

•

x 72 = 17 136

•

12 60 = x 3.75

•

16 x = 5 12

•

4 = 8 x 2

38 Determina la media proporcional de cada par

de números y, luego, construye una proporción continua con dichos pares y la media proporcional obtenida. • 2y9

• 3y9

• 15 y 16

• 5 y 245

• La temperatura y la presión de un gas, encerrado a volumen constante, son directamente proporcionales. Si un gas encerrado a una temperatura de 300 K ejerce una presión de 4 Pa sobre las paredes del recipiente, ¿a qué temperatura ejercerá una presión de 10 Pa? • En un aeropuerto llegan 25 vuelos chárter cada 4 horas. Si se mantiene constante el mismo ritmo de llegadas, ¿cada cuánto tiempo llegan 15 aviones al aeropuerto? • El 40% de los trabajadores de una zona franca va a su trabajo en transporte público, el 25% en vehículos propios y el resto caminando. ¿Cuántos trabajadores van a su trabajo caminando, si la zona franca tiene 800 trabajadores? • Un ahorrante deposita RD$12 500.00 con el fin de alcanzar un monto de RD$15 000.00. Si el banco paga un interés simple anual de un 6%, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que el ahorrante llegue a acumular el monto deseado?

Diseña problemas 42 Construye, a partir de la siguiente proporción,

dos problemas distintos y, luego, resuélvelos y comprueba sus soluciones. 5 = x 14 40

Medición de logros.

43 Estudio de caso. Lean y, luego, hagan lo que se les pide.

Al colgar una pesa en el extremo libre de un resorte como se muestra en la figura, el resorte sufre un alargamiento, x, que depende del número, N, de pesas colgadas. • Completen la siguiente tabla, colocando pesas iguales, una tras otra, en el extremo libre de un resorte y midiendo con una regla los alargamientos. Luego, respondan. Número de pesas, N Alargamientos, x (en cm)

….

• Descubran, a partir de la tabla, si N y x son proporcionales y, si lo son, qué clase de proporcionalidad relaciona a estas magnitudes. • Representen gráficamente la relación entre N y x. • Responde. ¿Qué harían para investigar el comportamiento del resorte al colocar cada vez más pesas? Comenten las respuestas. • Detallen en un informe su experiencia y sus conclusiones.

Ley de Hooke. El estiramiento de un resorte depende del peso que sostiene.

44 Piensa y, luego, responde.

• ¿Por qué la veracidad y honestidad son tan importantes en la práctica de la investigación en ciencia y tecnología? • ¿Qué otros valores identificas en el ejercicio de la investigación? • ¿Hasta qué punto crees que estos valores animan, en la actualidad, al quehacer científico y tecnológico? Comenten las respuestas.

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 45 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Identifico y represento proporciones y calculo sus términos. • Reconozco y grafico proporcionalidades directas e inversas. • Resuelvo problemas utilizando la regla de tres. • Calculo porcentajes y resuelvo problemas de interés simple. 46 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Por qué son útiles en la vida diaria las aplicaciones de las proporciones? Pon tres ejemplos. • ¿Cómo juzgas tu desempeño en el trabajo con los contenidos de esta unidad?

Elementos de Geometría. Ángulos

Punto de partida Aidita hojea su libro de Educación Artística y se detiene en las páginas dedicadas a la arquitectura y a los ejemplos de algunas de sus obras maestras. Comprobó que no solo los materiales de construcción han cambiado a través de los tiempos, sino también los elementos geométricos que siempre están presentes en las edificaciones. Sin geometría, las artes visuales y la arquitectura no habrían alcanzado el grado de avance que hoy muestran, pensó Aidita para sí. ¿Qué llama tu atención cuando

contemplas las edificaciones modernas de las ciudades? ¿Qué elementos de la geometría ya

conocidos por ti están presentes en esas edificaciones? ¿Qué relaciones hay entre las pro-

piedades de las líneas, figuras y cuerpos geométricos y la belleza de las obras arquitectónicas?

Conceptos y procedimientos Rectas paralelas

y perpendiculares. Ángulos. Ángulos complementa-

rios y suplementarios. Ángulos entre rectas

paralelas y una secante. Plano cartesiano. Coor-

denadas de un punto. Distancia entre

dos puntos del plano. Teorema de Pitágoras.

Actitudes y valores Apreciar la belleza

de las diversas formas geométricas. Valorar el cuidado

y el rigor en el trabajo.

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Cuándo se afirma de dos líneas rectas que son paralelas? Identifica tres pares de líneas paralelas en el entorno del aula. ¿Cómo puedes comprobar, utilizando una regla, que dos

líneas son paralelas? ¿Qué dificultades podrían presentarse? ¿Qué harías para comprobarlo, usando un cuadrado de la-

dos cuya longitud sea la distancia entre las paralelas?

OBSERVACIÓN ¿Has visto en edificios de tu entorno formas como las

que se muestran en las ilustraciones? ¿Qué clase de líneas y figuras identificas en ellas? ¿Te parecen atractivas y armoniosas las combinaciones

de distintas líneas y sus disposiciones que se observan en las ilustraciones?¿Por qué? ¿Qué líneas y figuras son las más frecuentes en las

edificaciones de tu entorno físico?

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Qué cosas del entorno te dan la idea de una línea recta? • ¿Qué es lo que llama la atención en una línea recta?

1 Rectas, semirrectas y segmentos Una línea recta es un conjunto de puntos que se extienden indefinidamente en una dirección y en sentidos opuestos.

Los siguientes conjuntos de puntos P son líneas rectas con direcciones distintas. P P P

Por dos puntos cualesquiera, A y B, pasa solo una línea recta. A

Si tres puntos, A, P y B, están sobre una misma recta, la distancia de A a B, d(A, B) es igual a la suma de las distancias de A a P, d(A, P) y de P a B, d(P, B). Trazado de una recta. Una recta se traza pasando un lápiz por el borde de una regla.

d(A, B) = d(A, P) + d(P, B).

La recta que pasa por los puntos A y B se designa: AB. En ocasiones, para nombrar una recta se usa una letra: a, b, etc.

MÁS INFORMACIÓN Afirmaciones sobre la recta en el plano Por un punto P pasan infinitas rectas distintas.

Una semirrecta o rayo es un conjunto de puntos que tienen un punto inicial y se extienden indefinidamente en una dirección y un sentido. El punto inicial de una semirrecta es su origen.

Los siguientes conjuntos de puntos P son semirrectas de origen A. A

Una segmento de recta o, simplemente un segmento, es un conjunto de puntos limitados por dos puntos fijos que son sus extremos. A

Dos rectas secantes se cortan exactamente en un punto.

2 Posiciones relativas de dos rectas

Dos rectas cualesquiera sobre el plano pueden ser: Paralelas, si no tienen un punto común. Secantes, si tienen solo un punto común. Coincidentes, si todos sus puntos son comunes.

Identifica rectas paralelas y perpendiculares.

3 Rectas paralelas y perpendiculares

Las rectas AB y CD son paralelas. Por más que las prolonguemos jamás se tocarán.

MÁS INFORMACIÓN Propiedades del paralelismo Dado un conjunto de rectas paralelas sobre un plano, se cumplen:

B D A

1. Toda recta a se considera paralela a sí misma.

C La siguiente afirmación se conoce como el postulado de las paralelas: por un punto P, exterior a una línea recta, pasa una paralela y solamente una.

a )) a. 2. Si una recta a es paralela a otra recta b, la recta b es paralela a la recta a.

Para escribir simbólicamente que dos rectas, L y M , son paralelas se usa la notación: L uu M . Dos rectas secantes que dividen al plano en cuatro partes iguales son perpendiculares. Las rectas MN y PQ siguientes son perpendiculares. Simbólicamente: MN PQ. P

P M

N Q

a )) b

b )) a.

3. Dos rectas, a y b, paralelas a una tercera recta c, son paralelas entre sí. a )) b y b )) c

a )) c.

N Q

Para designar dos perpendiculares, N y O , se usa: N | O .

L >M

Por un punto P, exterior a una recta, no puede ser trazada más de una perpendicular a una recta dada.

N y O

Esta última afirmación permite construir otra definición de líneas paralelas: dos líneas rectas distintas sobre un plano y que sean perpendiculares a una tercera son líneas paralelas.

MyM

N>O

Si M, N > L, entonces: M )) N

ACTIVIDADES 1 Observa la figura de la derecha y, luego, identifica.

• Los pares de rectas que son paralelas.

• Las rectas que son secantes. • Las rectas que son perpendiculares.

2 Analiza y, luego, responde cada pregunta. Comparte tus respuestas.

• ¿Cuántas líneas paralelas o perpendiculares puedes trazar a un recta dada? • Si trazas una perpendicular l, a una línea recta m que es, a su vez, perpendicular a otra n, ¿cuál es la posición relativa de la recta l con respecto a la recta n? • ¿Una recta r secante a una de dos rectas paralelas, es secante a la otra?

CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

1 Construcción de la recta paralela que pasa

RECUPERACIÓN

por un punto exterior a una recta dada Responde. • ¿Has empleado la regla y el compás en la construcción de figuras? • ¿Cuáles figuras has construido con estos instrumentos?

Para construir la recta paralela a una recta dada l que pase por el punto P, se dan los siguientes pasos: 1.º Sobre la recta l se marca un punto cualquiera O. Se apoya la punta del compás en O, el compás se abre con una abertura OP y se traza un arco que corte a la recta l en los puntos R y S. P

Regla y compás. En la geometría estos dos instrumentos juegan, desde la antigüedad, un papel de primer orden.

2.º Se abre el compás con una abertura de R a P. Con esa misma abertura se apoya su punta en S y se traza un segundo arco que corta al primero en el punto T. La recta m trazada por los puntos P y T es la paralela a l que pasa por el punto P. P

m S

2 Construcción de la recta perpendicular que

pasa por un punto exterior a una recta dada Para construir la recta perpendicular a una recta dada r y que pase por el punto P, se procede como se indica abajo. Fíjate en las figuras de la izquierda.

P M

2º. Con otra abertura del compás o la misma anterior, se apoya su punta en M y se traza un segundo arco.

P M

N Q s

1º. Apoyando la punta del compás en el punto P, se traza un arco de circunferencia que corte a la recta r en dos puntos, M y N.

Manteniendo la abertura del paso anterior, y apoyando el compás en N se traza otro arco que corte al anterior en un punto Q. La recta que pasa por P y Q, es la perpendicular a l que pasa por el punto P.

Traza paralelas, perpendiculares y mediatrices.

3 Mediatriz de un segmento. Construcción

INTELIGENCIA COLABORATIVA El circuncentro

La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular que divide a dicho segmento en dos partes iguales.

Dibujen un triángulo y tracen la mediatriz de cada uno de sus lados. Luego, comprueben:

l A

Que las tres mediatrices se cortan en un punto único. Este punto se llama circuncentro del triángulo.

La mediatriz del segmento AB es la recta perpendicular l que pasa por el punto P. De acuerdo a la definición de mediatriz: AP = PB. El procedimiento para trazar la mediatriz de un segmento AB es el siguiente: 1.º Apoyando la punta del compás en el extremo A del segmento AB y con una abertura mayor que la mitad de la longitud de dicho segmento se traza un primer arco que corte al segmento. 2.º Con la misma abertura del compás, se apoya su punta en el otro extremo del segmento, B, y se traza un segundo arco que corte al primero en dos puntos R y S. La recta l que pasa por los puntos R y S, es la mediatriz del segmento AB.

Que con una abertura del compás que vaya del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo y apoyando su punta en el circuncentro, se puede trazar una circunferencia que pase por los tres vértices de triángulo.

B O

l R B

ACTIVIDADES Q

3 Fotocopien las rectas y, luego, tracen lo que se les pide.

• Paralelas a la recta a que pasen, cada una de ellas, por los puntos P, Q y R. • Perpendiculares a la recta b que pasen, cada una de ellas, por los puntos S, T y U.

P R

4 Traza la mediatriz del segmento MN de 10 cm y comprueba tu

resultado con una regla. Luego, responde. • ¿Qué harías para dividir un segmento en cuatro partes iguales?

ÁNGULOS

1 Concepto de ángulo

RECUPERACIÓN Haz lo que se te pide. • Observa a tu alrededor e identifica ángulos distintos.

Un ángulo es la parte de un plano limitada por dos semirrectas con el mismo origen y con direcciones distintas. C

• ¿Qué clases de ángulos diferentes has identificado?

P B

A El ángulo representado arriba está formado por los rayos BC y BA, ambos con un origen común, B. Este ángulo se designa mediante:\ABC o \CBA. La letra que corresponde al vértice se coloca entre las otras dos. Un ángulo también se designa con la letra del vértice, \B, o con un número, \1, \2, …

RECUERDA Elementos de un ángulo C Rayos

El punto P está en el interior del ángulo ABC, si A y P están localizados a un mismo lado del rayo BC, y P y C, en el mismo lado del rayo AC.

Vértice B

Los puntos A, B y C no son puntos interiores del \ABC.

La región interior del ángulo ABC está formada por la totalidad de puntos P, interiores al ángulo. La región sombreada de la figura anterior representa el interior del ángulo ABC. 2 Medida de un ángulo

La medida de un ángulo expresa el tamaño de la abertura que hay entre sus dos rayos. Trazado un ángulo de 45º.

Para medir ángulos se utiliza el grado sexagesimal (º) que es una trescientas sesentava parte de la circunferencia. Un grado está formado por 60 minutos (’) y un minuto por 60 segundos (’’).

45º

Observa cómo se miden con el transportador los ángulos ABC, ABD y ABE. Las medidas de estos ángulos son, respectivamente, 45º, 90º y 160º.

Para trazar un ángulo ABC de mº, el rayo BA deberá pasar sobre la línea D del 0º del transportador y el rayo BC por C la marca mº de la seE micircunferencia del transportador. Observa a la derecha. B A

0º

C 45º

0º

B 70

Identifica, traza y clasifica ángulos y efectúa operaciones con ellos.

3 Clasificación de los ángulos

RECUERDA

Por sus medidas, los ángulos pueden ser agudos, rectos u obtusos.

Ángulos congruentes Dos ángulos con la misma medida son congruentes.

La medida de un ángulo agudo está entre 0º y 90º; la de un ángulo recto es 90º; y la de un ángulo obtuso, entre 90º y 180º.

Si \ABC y \XYZ son ángulos congruentes se escribe: \ABC > \XYZ.

La geometría elemental no toma en cuenta ángulos de medidas 0º (ángulos nulos) y 180º (ángulos llanos).

4 Operaciones con ángulos

En la figura de la derecha, los ángulos ABC y CBD tienen en común el rayo BC. \ABC y \CBD son ángulos consecutivos. Las medidas de \ABD es la suma de las medidas de \ABC y \CBD.

Las medidas de \ABC y \CBD son las diferencias de la medida de \ABD y las medidas de \ABC y \CBD.

EJEMPLO RESUELTO: Determinar la medida de \ABD, si \ABC y \CBD miden, respectivamente, 30º 40’ 25’’ y 25º 35’ 40’’. 1º

1’

30º 40’ 25”

La medida de \ABD se obtiene con: 30º 40’ 25’’ + 25º 35’ 40’’.

25º 35’ 40”

\ABD mide 56º 16’ 5’’.

56º 76’ 65” 60’+16’ 60”+5”

Obtener la medida de \ABC, si \ABD y \CBD miden, respectivamente, 90º 10’ 35’’ y 78º 50’ 15’’. 89º

La medida de \ABC se obtiene con: 90º 10’ 35’’ – 78º 50’ 15’’.

60’+10=70’

90º 10’ 35” –

78º 50’ 15”

\ABD mide 56º 16’ 5’’.

11º 20’ 20”

ACTIVIDADES D

5 Traza, usando el transportador, ángulos con las medida siguientes.

• 20º

• 75º

• 92º

• 120º

• 150º

6 Observa la figura y, luego, resuelve el problema.

• Un velero debía dirigirse desde B a un puerto D. El rumbo que tomó, de 58º 32’ 48’’, lo llevó a un puerto distinto C. ¿En cuánto debió corregir el rumbo tomado para haber llegado al puerto D?

63º 45’ 32”

COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO

1 Complemento de un ángulo

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Cuántos grados le faltan a un ángulo de 27º para llegar a ser recto? • ¿Cuántos grados le faltan a un ángulo de 165º 45’ para ser llano?

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90º, dichos ángulos son complementarios uno del otro.

Observa la figura. Los ángulos ABC y CBD son complementarios. Estos ángulos son consecutivos y forman un ángulo recto. El ángulo ABC es el complemento del ángulo CBD y viceversa:

D C

Medida ABC = 90º – medida CBD. Medida CBD = 90º – medida ABC. EJEMPLOS RESUELTOS: El complemento de 15º 25’ es: 90º – 15º 25’ = 74º 35’. El complemento de 75º 18’12” es:

90º – 75º 18’ 12” = 14º 41’ 48”. 2 Suplemento de un ángulo Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180º, dichos ángulos son suplementarios uno del otro.

Fíjate en la figura. MÁS INFORMACIÓN Ángulos adyacentes A dos ángulos consecutivos y que formen un ángulo llano se les llama ángulos adyacentes. Los ángulos PQR y RQS siguientes son adyacentes.

Los ángulos ABC y CBD son suplementarios. Estos ángulos son consecutivos y forman un ángulo llano.

C 180º

El ángulo ABC es el suplemento del ángulo CBD y viceversa: Medida ABC = 180º – medida CBD. Medida CBD = 180º – medida ABC.

R EJEMPLOS RESUELTOS: El suplemento de 85º 30’ 53” es:

180º – 85º 30’ 53” = 94º 29’ 7”. S

El suplemento de 132º 45” es: 180º – 132º 45” = 47º 59’ 15”.

Determina el complemento y el suplemento de un ángulo.

3 Problemas

Sigue con atención los siguientes ejemplos. Figura 1.

EJEMPLOS RESUELTOS: Determinar la medida x del ángulo coloreado de la

figura 1.

52º

Los ángulos de la figura 1 son adyacentes, entonces la medida desconocida, x, es la del suplemento del ángulo que mide 52º: x = 180˚ – 52˚ = 128º. La medida del ángulo x es 128º. ¿Cuál es la medida x del ángulo coloreado de la figura 2?

Figura 2.

Como los tres ángulos consecutivos forman un ángulo recto, entonces: 15º + x + 20º = 90º. 20º

Si se suman las medidas 15º y 20º, la expresión anterior es equivalente a: x + 35º = 90º. Entonces: x = 90º – 35º = 55º, es la medida buscada.

15º

¿Qué medidas x e y tienen los ángulos de la figura 3?

Como los ángulos de medidas x y 160º son adyacentes, entonces: 160º + x = 180º.

Figura 3.

Luego: x = 180º – 160º = 20º.

Conocida la medida x = 20º, entonces: 20º + y = 180º.

160º

Luego: y = 180º – 20º = 160º.

ACTIVIDADES 7 Obtén lo que se te pide. Comprueba tus resultados en cada caso.

El complemento de los siguientes ángulos.

• 48º

• 25º 15’ 36”

• 76º 19’ 50”

• 43º 48’ 54”

• 10º 32’ 45”

• 98.75º

• 142º 28’ 39”

• 176º 58”

El suplemento de los siguientes ángulos.

• 48º

• 75º 46’ 12”

8 Obtén el valor de x.

x 150º 63º x

x 50º

ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Una recta perpendicular a una de dos rectas paralelas es perpendicular a la segunda?

1 Secante a dos rectas paralelas Una recta que corta a dos rectas paralelas del plano es una secante o recta transversal de dichas paralelas.

b 7

7 7

La recta l es secante al par de rectas paralelas a y b y la 7 7 7 recta m es secante de las paralelas c y d. 2 Ángulos formados por una secante

y dos rectas paralelas Una recta secante al atravesar un par de líneas paralelas determina ocho ángulos.

l 2 1 3 4 6 5 7 8

a b

Los pares de ángulos 1 y 7, 2 y 8 que están a ambos lados de la secante y fuera del espacio entre las paralelas son ángulos alternos externos. Los pares de ángulos 3 y 5, 4 y 6 que están a ambos lados de la secante y dentro del espacio entre las paralelas son ángulos alternos internos. Los pares de ángulos 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7 que están en un mismo lado de la secante y uno dentro y otro fuera del espacio entre las paralelas, son ángulos correspondientes. Los pares de ángulos alternos externos 1 y 7 son congruentes. También lo son los ángulos 2 y 8: ]1 > ]7; ]2 > ]8. Los pares de ángulos alternos internos 3 y 5 son congruentes. También lo son los ángulos 4 y 6: ]3 > ]5; ]4 > ]6. Los pares de ángulos correspondientes 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7 son congruentes: ]1 > ]5; ]4 > ]8; ]2 > ]6; ]3 > ]7. 74

Reconoce los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante.

3 Ángulos opuestos por el vértice

MÁS INFORMACIÓN

Si dos rectas se cortan en un punto se forman cuatro ángulos. 2

1 3

Construcción de una bisectriz Para trazar la bisectriz de un ángulo ABC:

1.º Con una determinada abertura se apoya la punta del compás en el vértice B del ángulo y se traza un primer arco que corte a los dos rayos en los puntos D y E.

b Los pares de ángulos 1; 3 y 2; 4 son opuestos por el vértice.

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando uno de ellos está formado por las prolongaciones de los rayos del otro, en sentido contrario.

E D

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: ]1 > ]3; ]2 > ]4.

2.º Con la misma abertura del compás se trazan dos arcos apoyándolo, primero, en el punto D y, después, en el punto E. Estos arcos se cortarán en el punto P. La bisectriz del ángulo es el rayo que pasa por los puntos B y P.

4 Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es el rayo, situado en la región interior de dicho ángulo y que parte de su vértice, que lo divide en dos ángulos congruentes.

En la figura, el rayo BP es la bisectriz del ángulo ABC. Está contenido en la región interior de ]ABC, sale de su vértice y divide a este ángulo en dos ángulos congruentes ]ABP y ]PBC.

C E

P D B

B A El rayo BP que es la bisectriz del ángulo ABC, es único.

ACTIVIDADES 9 Observa la figura de la derecha y, luego, responde.

• ¿Puedes escribir las medidas de todos los demás ángulos? Hazlo.

• ¿Podrías hacerlo si las rectas a y b no fueran paralelas?

• ¿Cuáles pares de ángulos opuestos por el vértice identificas?

120º

10 Construye ángulos con las medidas indicadas y, luego, traza sus bisectrices.

• 30º

• 48º

• 70º

• 100º

• 160º

PLANO CARTESIANO. COORDENADAS DE UN PUNTO

1 El plano cartesiano

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. ¿Qué utilidad tiene que el tejido urbano esté formado por calles paralelas y perpendiculares? ¿Cómo describes un desplazamiento por las calles de la ciudad?

Un plano cartesiano es el plano determinado por dos rectas numéricas perpendiculares.

A la recta numérica horizontal del plano cartesiano se le llama eje de las abscisas o eje X y a la recta numérica vertical, eje de las ordenadas o eje Y. Los ejes de las abscisas y las ordenadas se denominan ejes coordenados. Eje Y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

Eje y P y=3 1 2 3 4 5

Eje x

x=4

El número x se encuentra sobre el eje horizontal y el número x, sobre el eje vertical.

4to. cuadrante (+, –)

El punto P en la figura de la izquierda se localiza tomando x = 4 unidades hacia la derecha en el eje horizontal e y = 3 unidades hacia arriba en el eje vertical. El plano cartesiano está dividido en cuatro partes que son sus cuadrantes. El punto O se llama origen del plano cartesiano.

1er. cuadrante (+, +)

O 3er. cuadrante (–, –)

Los ejes coordenados permiten especificar de manera precisa cuál es la posición de un punto en el plano. Para determinar la posición de un punto P, basta con conocer sus coordenadas cartesianas. Las coordenadas de un punto P del plano son dos números, x, llamado abscisa, e y, llamado ordenada. P estará debidamente localizado cuando se escriben sus coordenadas P(x, y).

Cuadrantes del plano cartesiano.

2do. cuadrante (–, +)

Eje X

2 Coordenadas de un punto en el plano

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

1 2 3 4 5

En el 1.er cuadrante, la abscisa y la ordenada son positivas; en el 2.do cuadrante, la abscisa es negativa y la ordenada positiva; en el 3.er cuadrante, la abscisa y la ordenada son negativas y en el 4.to cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

Identifica las coordenadas cartesianas de puntos del plano.

3 Localización de puntos en el plano

A cada par de coordenadas (x, y) del plano le corresponde un punto P y solamente uno y, recíprocamente, el punto P tiene un par de coordenadas y solo uno, (x, y).

EJEMPLOS: Marcar sobre el plano los siguientes puntos:

Q(–2, 3) 3

P(4, 3)

P(4, 3); Q(– 2, 3); R(– 2, – 4); S(– 6, – 2); T(3, – 3). Observa la figura de la derecha. Los puntos P(4, 3) y Q(– 2, 3) pueden unirse con un segmento paralelo al eje horizontal, y los puntos Q(– 2, 3) y R(– 2, – 4) pueden ser unidos mediante un segmento paralelo al eje vertical.

4 S(–6, –2)

T(3, –3)

R(–2, –4) Los puntos de un segmento paralelo al eje horizontal tienen la misma ordenada y; y los de un segmento paralelo al eje vertical, la misma abscisa x.

Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son los extremos de un segmento PQ, las coordenadas del punto medio, Pm(xm, ym), son: x x y y xm = 1 + 2 ; ym = 1 + 2 . 2 2 EJEMPLO RESUELTO: Obtener las coordenadas del punto medio de un seg-

mento del plano cuyos extremos son A(2, 3) y B(– 4, 5). xm = 2 + (– 4) = – 1 ; ym = 3 + 5 = 4. 2 2 Las coordenadas del punto medio son: Pm(– 1, 4).

ACTIVIDADES 11 Marca los siguientes puntos sobre el plano: P(– 5, 6), P(5, 0), P(8, – 10) y P(– 4, – 4.5). 12 Traza los segmentos especificados y escribe las coordenadas de tres puntos de cada uno.

• Un segmento AB, paralelo al eje horizontal.

• Un segmento CD, paralelo al eje vertical.

13 Determina las coordenadas de los puntos medios de extremos A y B dados.

• A(– 4, 5) y B(4, 7)

• A(5, 9) y B(3, – 6)

• A(– 1, – 5) y B(0, 4)

• A(– 4, 6) y B(6, – 4)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO

1 Concepto de distancia

RECUPERACIÓN Observa la figura y, luego, responde la pregunta. A

Dados dos puntos cualesquiera del plano, A y B, la distancia entre ellos es un número, d(A,B), que cumple con: d(A, B) es un cero o positivo. La distancia entre A y B es

• ¿Si las longitudes de los segmentos AB y BC son x e y, respectivamente, cuál es la longitud de AC?

cero, si ambos puntos coinciden y; positivo, si ambos puntos no coinciden: C

d(A, B) = 0 ; d(A, C) > 0. A, B

La distancia no depende del orden en que se tomen los

puntos A y B. La distancia de A a B y de B a A es la misma: d(A, B) = d(B, A). d(B, C)

d(A, B)

Para tres puntos, A, B y C, que no pertenecen a una mis-

ma recta, se cumplirá la desigualdad triangular: A

d(A, C)

d(A, B) < d(B, C) + d(A, C). 2 Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo ABC, el cuadrado de la longitud del lado mayor o hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, llamados catetos.

RECUERDA En el triángulo rectángulo de la izquierda: c2 = a2 + b2. Elementos de un triángulo rectángulo B

Para calcular un cateto, conocidos la hipotenusa y el otro cateto, se emplea una de las expresiones siguientes: a2 = c2 – b2 ; b2 = c2 – a2.

EJEMPLOS: Obtener la longitud de la hipotenusa de un triángulo

El lado AB de longitud c es la hipotenusa. Los lados BC y AC de longitudes respectivas a y b son los catetos. Los ángulos A y B son agudos y el ángulo C es recto.

cuyos catetos miden 7 cm y 24 cm. Como a = 7 cm y b = 24 cm: c2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625. Entonces: c = 625 = 25 cm. Calcular la longitud del cateto b de un triángulo de

hipotenusa c de 13 m y un cateto a de 5 m. Como c = 13 m y a = 5 m: b2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144. Luego: c = 144 = 12 cm.

Conoce y aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

3 Obtención de la distancia entre dos puntos Si dos puntos A y B son extremos de segmentos paralelos al eje horizontal o al eje vertical, en el primer caso, su distancia es el valor absoluto de la diferencia de sus abscisas o, en el segundo caso, el valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

y A(x1, y1)

B(x2, y2) x

La fórmula de la distancia entre dos puntos del plano es una generalización del teorema de Pitágoras.

A(x1, y1) B(x2, y2)

d(A, B) = |x1 – x2| = |x2 – x1| ; d(A, B) = |y1 – y2| = |y2 – y1|. B(4, 2) La distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) se calcula con la expresión: d(A, B) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 .

EJEMPLOS RESUELTOS:

A(1, – 2)

Determinar la distancia entre A(1, – 2) y B(4, 2).

Como x1 = 1; y1 = – 2; x2 = 4; y2 = 2, entonces:

d(A, B) = (4 – 1)2 + (2 – (– 2))2 = 32 + 42 = 25 = 5.

Q(5, 3)

La distancia entre los puntos A y B es de 5 unidades. Determinar la distancia entre P(– 4, – 3) y Q(5, 3).

Como x1 = – 4; y1 = – 3; x2 = 5; y2 = 3, entonces: d(P, Q) = (5 – (– 4))2 + (3 – (– 3))2 = 92 + 62 = 117 ≈ 10.8. P(– 4, – 3)

La distancia entre los puntos P y Q es de 10.8 unidades.

ACTIVIDADES 13 Marca los pares de puntos, traza el segmento entre ellos y, finalmente, determina la longitud

de cada segmento. • A(4, 7) y B(0, 5)

• A(– 2, 3) y B(3, – 2)

• A(– 3, – 5) y B(– 1, 2)

• A(– 2, 0) y B(0, 6)

14 Los puntos de cada conjunto son vértices de un polígono. Márcalos sobre el plano cartesiano,

descubre de qué polígono se trata en cada caso y calcula su polígono. • A(– 4, 2); B(4, 5); C(4, 2)

• P(0, 6); Q(4, 6); R(2, 0)

• X(3, 5); Y(1, 2); Z(3, 5); W(1, 2)

15 Obtén, a partir de la fórmula, la distancia entre los puntos A(x1, c) y B(x2, c).

Observa que sus abscisas son distintas, x1 y x2 pero su ordenada es la misma, c.

ACTIVIDADES

16 Copia las rectas r y s en tu cuaderno y, luego,

haz lo que se te pide. r

20 Traza con una regla segmentos con las longitu-

des siguientes.

P •

6 cm

12 cm

1.5 dm

96 mm

21 Fíjate en los ángulos siguientes y sus medidas.

Luego, obtén el valor de x.

Traza la recta paralela a r que pase por el punto P.

25º 12’ 40” x

Traza las perpendiculares a r y s que pasen por el punto P. 17 Observa la figura e identifica las posiciones re-

lativas de los pares de rectas identificados. t

63º 32’ 35”

x 43º 48’ 36”

Traza la recta paralela a s que pase por el punto P.

22 Obtén.

El complemento de un ángulo de 25˚ 34’ 51’’. El suplemento de un ángulo de 152˚ 43’ 38’’. 23 Mide los ángulos siguientes, construye su bisectriz

y comprueba tus resultados. C

Las rectas r y s.

Las rectas r y t.

Las rectas w y s.

Las rectas w y r.

24 Obtén, a partir de la figura, las medidas desco-

nocidas de los ángulos. z 70º

18 Observa y, luego, responde.

P •

Q •

¿Cuántas rectas pasan por el punto P? ¿Cuántas rectas pasan por los puntos P y Q? ¿Cuántos rayos distintos hay en la figura? ¿Cuáles son esos rayos?

25 Haz lo que se te pide a continuación.

Marca los puntos A(8, – 3), B(– 5, 2), C(4, 0) y D(– 5, –3) sobre el plano cartesiano. Determina la distancia entre los puntos: A y B; B y C; A y D; B y D.

19 Traza una línea recta en tu cuaderno y marca

sobre ella cuatro puntos distintos. Luego, responde las preguntas.

26 Calcula la longitud de la hipotenusa c, o de los

catetos, a y b.

¿Hay solo tres segmentos sobre la recta?

a = 21 m; b = 220 m; c = ?

¿Si hay más de tres segmentos, cuántos hay? ¿Cuáles son esos segmentos?

a = ?; b = 312 m; c = 313 m. a = 75 m; b = ?; c = 120 m.

Competencias fundamentales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 27 Lee y, luego, responde.

El sistema de posicionamiento global (GPS) es un sistema diseñado para la determinación, mediante satélites, de la posición de un objeto sobre la superficie de la Tierra. Está constituido por 24 satélites que orbitan alrededor de la Tierra y cubren toda su superficie. Esos satélites operan con relojes de alta precisión. El GPS identifica las posiciones de objetos y personas desde una altura de 20 000 kilómetros con precisión de unos pocos metros. ¿En qué situaciones has escuchado hablar del GPS? ¿Qué aplicaciones tiene el GPS? Señala tres. ¿Cuáles conceptos geométricos están presentes en el GPS? 28 Lee, observa la figura y, luego, responde.

Imagina tres satélites situados en un plano en los puntos P, Q y R. Cada satélite mide la distancia a la que se encuentra un barco con respecto a él. A las 21:00 horas el barco está localizado en el punto A (6, 3).

29 Resuelve el problema.

A”(1, 6.1) A’(3, 5) A(6, 3)

y R

A(6, 3) P

A las 21:00 horas el barco está localizado en el punto A (6, 3). Si cada unidad de los ejes coordenados mide kilómetros, ¿a qué distancia del satélite P está el barco? ¿A qué distancias de los satélites Q y R está el barco a esa misma hora?

Los satélites del GPS determinan dos nuevas posiciones del barco, en la figura de arriba estas posiciones son A’(3, 5) y A’’(1, 6.1). Quiere saberse si el barco se movió de A(6, 3) hasta A’’(1, 6.1), siguiendo una línea recta. Piensa y, luego, responde. ¿Cómo resolverías el problema? Comprueba tus suposiciones y, luego, comparte con tus compañeros los resultados que obtuviste.

EVALUACIÓN Modela y representa

Usa algoritmos

30 Observa las figuras y, luego, escribe debajo la

34 Obtén lo que se te pide.

letra del enunciado que le corresponde. P

• El complemento de un ángulo cuya medida es 34º 15’ 58”.

R A

B Q

• El suplemento de un ángulo cuya medida es 102º 46’ 12”. 35 Calcula las longitudes de los segmentos AB y

las coordenadas de sus puntos medios. A) Por dos puntos pasa una recta y solo una.

• A(6, 10) ; B(2, – 8)

• A(– 5, 4) ; B(– 3, – 2)

B) Dos rectas cualesquiera se cortan exactamente en un punto.

• A(0, – 5) ; B(2, 5)

• A(– 9, 0) ; B(– 5, 12)

C) Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela a dicha recta. D) La distancia entre paralelas es constante.

Modela y representa 31 Traza dos líneas secantes a y b y una tercera

línea c secante a las otras dos de tal manera que formes un triángulo. Luego, identifica lo que se te pide.

Conecta 36 Resuelve los problemas siguientes. NOTA: Las

medidas están en metros. • Un agrimensor identificó por sus coordenadas tres puntos en un terreno. Las coordenadas de los tres puntos identificados sobre el terreno son A(12, 15); B(9, 20) y C(10, 27). ¿Si la unidad de medida utilizada es el metro, cuál es el perímetro del triángulo formado por A, B y C? • Un solar tiene la forma rectangular mostrada. ¿Cuáles son las coordenadas a, b, c y d? ¿Qué longitud tiene la diagonal AC?

• Los ángulos opuestos por el vértice. • Los ángulos adyacentes. 32 Construye dos rectas paralelas y, luego, haz lo

B(a, 50)

C(b, c)

A(10, 20)

D(80, d)

que se te pide. • Marca sobre cada una de las paralelas dos puntos y resalta, con un lápiz de color, los segmentos entre los dos puntos marcados. • Traza las mediatrices de los segmentos resaltados. ¿Cómo son esas mediatrices? 33 Traza en tu cuaderno con un transportador án-

gulos con las medidas siguientes y, luego, construye la bisectriz de cada ángulo. C

R 82º

60º B

• Un avión se movía inicialmente formando un ángulo de 30º respecto a una recta l. En un momento cambia de rumbo tomando la dirección indicada por el rayo BC. ¿De cuántos grados x fue el desvío? C x B

30º A

78º

Medición de logros.

37 Estudio de caso. Lean y, luego, hagan lo que se les pide.

Si P es un punto de la mediatriz de un segmento AB, los segmentos que PA y PB tienen la misma longitud. P

PA = PB A

P C

A partir de la afirmación anterior analicen y traten de ofrecer una solución al siguiente problema. En un parque se quiere colocar un farol que produzca la misma iluminación en tres puntos A, B y C. La luz de un farol produce la misma iluminación en los puntos situados a igual distancia del farol. ¿En qué punto P debe ponerse la lámpara? Describan el procedimiento que siguieron para resolver el problema y, luego, justifíquenlo utilizando argumentos de la Geometría. Detallen en un informe su experiencia y sus conclusiones.

38 Piensa y, luego, responde.

• ¿De qué manera la Geometría ofrece recursos al arte y la arquitectura? • Pon algunos ejemplos que apoyen tu respuesta. • ¿En qué lugares de tu entorno cotidiano puedes apreciar la presencia de formas y figuras de la Geometría?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 39 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Identifico y trazo rectas paralelas y perpendiculares. • Identifico y trazo ángulos y efectúo operaciones con ellos. • Determino el complemento y el suplemento de un ángulo. • Reconozco los ángulos entre rectas paralelas y una secante. • Identifico las coordenadas cartesianas de puntos del plano. 40 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Cómo juzgas tu desempeño en el trabajo con los contenidos de esta unidad?

Medidas

Punto de partida Es el ser que mide —respondió Antonio a la pregunta sobre la actividad que mejor define al ser humano. De inmediato argumentó, que es posible hallar muestras de pensamiento y lenguaje en los animales más evolucionados. Que hay animales con algún sentido de belleza. Solo el ser humano mide. La conversación entre Antonio y sus amigos continuó con sus pro y sus contra. Pero con la respuesta de Antonio, todos se pusieron a pensar en la importancia que han tenido las medidas en el desarrollo de la civilización. ¿Puedes dar respuestas distintas a

la de Antonio acerca de lo que caracteriza al ser humano? ¿Consideras que la respuesta de An-

tonio tampoco es totalmente cierta?

Conceptos y procedimientos Medidas angulares. Medidas de peso, masa

y capacidad. Medidas de temperatura. Medidas de tiempo. Transformaciones

de medidas. Actitudes y valores Apreciar la importan-

cia de las medidas para la vida. Valorar la justicia y la

equidad en las acciones cotidianas que impliquen medidas.

¿Habrá algún animal que estime

distancias, pesos o temperaturas? Investígalo. RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Qué relaciones tienen las medidas con el desarrollo

de la sociedad? ¿Por qué no puede concebirse una sociedad moderna

ajena a operaciones de medición? ¿Cómo fueron depurándose y haciendo más precisos

los sistemas de unidades? ¿De qué manera la técnica contribuye con el avance de

los procesos de medición? ¿Cómo ensanchan los procesos de medición al cono-

cimiento del medio natural y social?

OBSERVACIÓN Describe las actividades que se realizan en cada

una de las situaciones mostradas en la doble página. ¿Dónde has visto situaciones en las que se de-

sarrollen acciones similares a las que observas? ¿Qué magnitudes están presentes en los artí-

culos que se venden en los supermercados? ¿Qué magnitudes se miden en un terreno como

el que aparece a la derecha?

MEDIDAS ANGULARES

1 El sistema sexagesimal

RECUPERACIÓN Escribe la equivalencia en cada caso. • 5’ = ………’

10’ = ………’

• 30’ = ………º

15’ = ………º

• 20’ = ………”

15’ = ………”

La unidad principal del sistema sexagesimal de medida de ángulos es el grado (º) , el cual es ( 1 ) parte de una 360 circunferencia.

El minuto (’) y el segundo (”) son fracciones de la unidad principal, el grado: 1’ = ( 1 ) ; 1” = ( 1 ) . 60

3 600

Es usual expresar la medida de un ángulo usando grados, minutos y segundos; pero en ocasiones, una medida angular puede ser expresada solo en grados. EJEMPLOS RESUELTOS: Expresar la medida angular 35˚40’18” solo en grados

Para escribir solo en grados la medida angular anterior, primero, se convierten en grados los minutos y segundos y, luego, se suman los resultados del paso anterior y el número de grados enteros: 40’ = ( 40 ) º ≈ 0.667º ; 18” = ( 18

3 600 )

º = 0.005º

Entonces: 35º40’18” = 35º + 0.667º + 0.005º = 35.672º Expresar solo en grados la medida 58º32’50”.

Aquí: 32’ = ( 32 ) º ≈ 0.533º ; 50” = ( 50 60

3 600 )

º ≈ 0.014º

Luego: 58º32’50” = 58º + 0.533º + 0.014º = 58.547º Si una medida angular está expresada solo en grados y una fracción decimal de grado, los minutos se obtienen multiplicando la parte decimal por 60’ y los segundos, multiplicando la parte decimal de los minutos por 60”. EJEMPLOS RESUELTOS: Escribir la medida 142.625º en grados, minutos

y segundos. Primero, se convierte la parte decimal de los grados en minutos: 0.625º = 0.625 x 60’ = 37.5’. Luego, se convierte la parte decimal de los minutos en segundos: 0.5’ = 0.5 x 60” = 30”. Finalmente: 142.625º = 142º 37’ 30”. 86

Reconoce sistemas de unidades angulares.

2 El Sistema Internacional de Magnitudes

La unidad de medida angular del Sistema Internacional de Magnitudes es el radián (rad), que es la abertura de un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y que determina, sobre ella, una parte de igual longitud que su radio. B

MÁS INFORMACIÓN Arco de circunferencia Un arco es la parte de una circunferencia comprendida entre dos posiciones distintas de su radio.

Arco, AB

1 rad

Longitud OA = longitud AB

A O

Un cuarto de circunferencia equivale a p 2 ≈ 1.57 radianes,

y media circunferencia equivale a π ≈ 3.14 radianes. B p 2 rad

]AOB de vértice en el centro O de la circunferencia es un ángulo central.

π rad B

EJEMPLO RESUELTO: ¿A qué parte de una circunferencia equivalen π/3 rad?

La respuesta se obtiene con una simple regla de tres: p 1 circunferencia 2 rad 4 p x circunferencia 3 rad x 1 ÷ p = p ÷ p = 1 de circunferencia. x = (p 3 4) 2 12 2 16

ACTIVIDADES 1 Expresa las medidas angulares solo en grados sexagesimales.

• 55º12’50”

• 125º8’46”

• 93º45’30”

• 10º56’

• 150º45”

• 0.0125º

• 132.8532º

2 Expresa las medidas en grados, minutos y segundos.

• 32.45º

• 64. 265º

• 120.0875º

3 Piensa y, luego, responde la pregunta en tu cuaderno. Comenta tu respuesta en el grupo.

• ¿La medida de un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia depende de la longitud del radio de dicha circunferencia?

TRANSFORMACIONES DE MEDIDAS ANGULARES

RECUPERACIÓN

1 Conversiones del sistema sexagesimal

al Sistema Internacional Responde. • ¿Cuántos ángulos llanos consecutivos forman una circunferencia? • ¿Y cuántos ángulos rectos y de 120º?

Un ángulo central de p 2 radianes determina un arco de un cuarto de circunferencia. Esto permite identificar a un ángulo de p 2 rad con un ángulo de 90º. B p rad

90º p = 90º 2

p = 180º.

p rad. Como p rad = 180º = 180 x 1º, entonces: 1º = 180

Para transformar una medida angular del sistema sexagesimal al Sistema Internacional de Magnitudes se multiplica p . la medida en grados por 180

EJEMPLOS RESUELTOS: Convertir a radianes la medida angular 60º.

p rad = 60 p rad = p rad. 60º = 60 x 1º = 60 x 180 3 180

Puesto que p no puede escribirse como un número decimal exacto, la expresión p se deja tal y como aparece. 3 Convertir a radianes la medida angular 150º.

p rad = 150 p rad = 5p rad. 150º = 150 x 180 6 180

2 Conversiones del Sistema Internacional

al sistema sexagesimal Como p rad = p x 1 rad = 180º, entonces: 1 rad = 180º p . Para transformar una medida angular del Sistema Internacional de Magnitudes al sistema sexagesimal, se multiplica la medida en grados por 180º p .

EJEMPLOS RESUELTOS: Convertir p rad al sistema sexagesimal.

p rad = p x 180º = 180º = 45˚. p 4 4 4 Convertir 2p rad al sistema sexagesimal. 5 2p rad = 2p x 180º = 360º = 72˚. p 5 5 5 88

Convierte medidas angulares de un sistema a otro.

3 Longitud de un arco de circunferencia

INTELIGENCIA COLABORATIVA

Observa la figura siguiente. Medir un arco

Hagan lo que se les pide.

r 1 rad A

Tracen con un compás una circunferencia de 8 cm de radio y sobre esta, usando un transportador, construyan un ángulo central de 60º.

AB = s = r = 1 rad. r r OA

Calculen, con la fórmula de la longitud de un arco, el largo del arco comprendido entre los rayos del ángulo construido. Aproximen hasta las centésimas.

Si el ángulo AOB mide un radián, entonces: B

r O

s m rad A

AB = s = m rad. r OA

Respondan. ¿Cómo se mide con una regla la longitud de un arco? Midan la longitud del arco y comparen el resultado obtenido con la fórmula, con el resultado de la medición directa.

Si m es la medida de un ángulo central, expresada en radianes, la longitud del arco s se obtiene con: s = m x r.

Tomen la longitud calculada como la mejor y calculen el error absoluto cometido en la medición.

La longitud, s, de un arco de circunferencia es el producto de la medida, m, en radianes, del ángulo que lo determina y el radio, r, de la circunferencia.

EJEMPLOS RESUELTOS: Obtener la longitud del arco determinado por un ángu-

lo de p rad en una circunferencia de 15 cm de radio. 5 ; r = 15 cm. Aquí: m = p 5 x 15 cm = 3p cm ≈ 9.42 cm. s=mxr= p 5 ACTIVIDADES 4 Convierte, del sistema sexagesimal al internacional y viceversa, usando la calculadora.

• 20º

• 160º

• 42º

• 95º

• 124º

4p • 15

5p • 12

3p • 4

p • 8

15p • 16

5 Determina la longitud del arco de una circunferencia de 15 cm de radio, comprendido entre ángulos

centrales con las medidas siguientes. p • 6 rad.

p • 12 rad.

5p • 9 rad.

• 50º

• 135º

MEDIDAS DE PESO, MASA Y CAPACIDAD

1 Unidades de peso

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Cómo se sabe, utilizando la percepción sensorial, cuándo un objeto pesa más que otro? • ¿Por qué no siempre se puede utilizar el procedimiento anterior para comparar pesos?

El peso de un objeto es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre dicho objeto.

El peso depende del lugar donde se encuentre el objeto, por tanto, no es constante. El peso de un objeto es mayor cuanto más cercano esté ese objeto del centro de la Tierra; por esto, en los polos, los objetos pesan ligeramente más que en la línea ecuatorial. Las unidades de medida del peso más usuales son la libra (lb) y la onza (oz), que son unidades del Sistema Inglés: 1 lb = 16 oz ; 1 oz = 0.0625 lb. Otra unidad es el kilogramo o kilo (kg), que no debe ser confundido con el utilizado como unidad de masa: 1 kg = 2.20 lb ; 1 lb = 0.45 kg. EJEMPLOS RESUELTOS: Un paquete de 12.75 lb tiene: 12.75 x 16 oz = 204 oz. Un paquete de 5 kg tiene: 5 x 2.2 lb = 11 lb. Un paquete de 400 oz tiene: 400 x 0.0625 lb = 25 lb.

2 Unidades de masa La masa es la resistencia que opone un cuerpo a ser movido, si está inicialmente en reposo; o a ser detenido, si está inicialmente en movimiento.

En el Sistema Internacional de Magnitudes la unidad principal de masa es el kilogramo (kg). O

Otras unidades de masa son el gramo (g) y la tonelada (t): 1 kg = 1 000 g ; 1 g = 0.001 kg. 1 t = 1 000 kg ; 1 kg = 0.001 t. EJEMPLOS RESUELTOS:

OA , OB Planeta Tierra. En los polos un objeto está más cerca del centro de la Tierra; en la línea ecuatorial el objeto está más alejado del centro.

Un objeto de 0.075 kg tiene: 0.075 x 1 000 g = 75 g. Un cuerpo de 12 800 g tiene: 12 800 x 0.001 kg = 12.8 kg. Un cuerpo de 0.325 t tiene: 0.325 x 1 000 kg = 325 kg.

Reconoce unidades de masa, peso y capacidad y realiza conversiones.

La capacidad de un recipiente es la cantidad de líquido que cabe en dicho recipiente.

La unidad principal de capacidad es el litro (L), que es la cantidad de líquido que cabe en un recipiente con un volumen de un decímetro cúbico. Esto último no debe inducirnos a confundir el concepto de capacidad con el de volumen, simplemente lo que se quiere significar es que en un volumen de 1 dm3 cabe 1 L.

Submúltiplos Múltiplos

3 Unidades de capacidad

kL hL daL L dL cL mL

Otras unidades de capacidad son los múltiplos del litro, el kilolitro (kL), el hectolitro ( hL) y el decalitro (daL) y sus submúltiplos, el decilitro (dL), el centilitro (cL) y el mililitro (mL): 1 kL = 1 000 L; 1 hL = 100 L; 1 daL = 10 L. 1 dL = 0.1 L; 1 cL = 0.01 L; 1 mL = 0.001 L. Cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior y 10 veces menor que la inmediatamente superior. EJEMPLOS: Un recipiente de 25 L tiene: 25 x 10 dL = 250 dL. Un recipiente de 15 000 L tiene: 15 000 x 0.01 hL = 150 hL. Un recipiente de 675 cL tiene: 675 x 0.001 daL = 0.675 daL. Un recipiente de 12 cuartillos tiene: 12 x 0.5 L = 6 L.

MÁS INFORMACIÓN Otras medidas de capacidad En la vida cotidiana y la práctica comercial se usan como unidades de capacidad la taza, el cuartillo y el galón. 1 taza = 250 mL. 1 cuartillo = 0.50 L. 1 galón = 3.79 L.

ACTIVIDADES 6 Convierte.

• 7 lb a oz.

• 18.25 lb a oz.

• 0.54 lb a oz.

• 728 oz a lb.

• 75.4 oz a lb.

• 70 oz a lb.

• 125 lb a kg.

• 0.75 kg a lb.

• 850 oz a kg.

• 0.025 kg a oz.

7 Transforma las medidas de masa y capacidad.

• 5 kg a g.

• 0.75 kg a g.

• 450 g a kg.

• 1 240 g a kg.

• 0.06 t a kg.

• 20 L a dL.

• 350 daL a L.

• 0.048 kL a daL.

• 850 L a galones.

• 36 cuartillos a tazas.

8 Piensa y, luego, responde. Después, explica qué hiciste para responder.

• ¿Cuántos cm3 o cc de volumen debe tener un recipiente para que quepa un litro de agua?

MEDIDAS DE TIEMPO

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Qué fenómenos naturales se toman como base para medir el tiempo en nuestro planeta?

1 Unidades de tiempo El paso del tiempo se mide con el reloj en horas (h), minutos (min) y segundos (s).

El segundo es la unidad de tiempo del Sistema Internacional de Magnitudes. La definición del segundo está basada en la duración de ciertos fenómenos atómicos de corta duración. Para convertir medidas de tiempo de una unidad a otra utilizaremos las equivalencias siguientes: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s; 1 h = 3 600 s. EJEMPLOS RESUELTOS: Convertir 2.5 h en minutos: 2.5 h = 2.5 x 60 min = 150 min. Convertir 450 min en horas:

450 min = 450 x 1/60 h = 7.5 h. Convertir 8 280 s en horas:

8 280 s = 8 280 x 1/3 600 h = 2.3 h 2 Duración de un evento La duración de un evento es el tiempo transcurrido entre su inicio y su terminación

Para determinar la duración de un fenómeno se hacen dos lecturas del reloj, t1 al inicio del fenómeno y t2 al término del fenómeno y, luego, se resta la primera lectura de la segunda: Duración = t2 – t1 (Siempre t2 . t1). EJEMPLOS RESUELTOS: Un autobús salió en la mañana de Santo Domingo ha-

cia La Vega a las 8 horas, 15 minutos y 36 segundos. ¿Si el autobús llegó a su destino a las 10 horas, 14 minutos y 23 segundos, cuánto tiempo duró el viaje? Se resta la lectura inicial del reloj de la lectura final: 9

10 h 14 min 23 s – 8 h 15 min 36 s 1 h 58 min 47 s El viaje del autobús duró 1 h, 58 min y 47 s.

Identifica unidades de tiempo y realiza conversiones.

3 Otras unidades de tiempo. El UTC

MÁS INFORMACIÓN

En el calendario se mide el tiempo en días, semanas, meses y años, unidades que se transforman como sigue:

Horas y ángulos

1 día = 24 h; 1 semana = 7 días; 1 mes = 30 días.

La representación angular de una circunferencia es un ángulo completo de 360º.

1 año = 12 meses; 1 año = 365 días; 1 mes = 30 días. Otras unidades de tiempo son: bimestre (2 meses); el trimestre (3 meses); semestre (6 meses); bienio = 2 años; cuatrienio (4 años); lustro (5 años); década (10 años); siglo (100 años); milenio (1 000 años). El tiempo universal coordinado (UTC) es el modo de coordinar los relojes en todo el mundo. Permite conocer la hora que marca un reloj en cualquier lugar del mundo.

360º Una hora equivale a una medida angular de 15º, que es el resultado de dividir 360º por 24, el número de horas que tiene el día. Cada franja de 15º es un huso horario.

Mapamundi con los 24 husos horarios.

ACTIVIDADES 9 Convierte.

• 15 h a min.

• 480 min a h.

• 114 meses a años.

• 20 min a s.

• 75 días a meses.

• 12 h a s.

• 9 bienios a años.

• 12 600 s a h. • 3 milenios a siglos.

10 Resuelve el problema.

• Un velero hizo un recorrido en tres etapas. En la primera tardó 1 h, 35 min y 38 s; en la segunda, 3 h, 48 min y 12 s; y en la tercera, 5 h, 27 min y 51 s. ¿En qué tiempo hizo el recorrido completo?

MEDIDAS DE TEMPERATURA

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Cómo se toma la temperatura corporal con un termómetro? • ¿Con qué finalidad se toma?

1 Concepto de temperatura

Si se transfiere calor, que es una forma de energía, al gas contenido en el recipiente cerrado, sus moléculas empezarán a moverse más y más rápido. Cuanto más calor absorben las moléculas del gas, mayor es la velocidad con que se mueven, aumentando su energía cinética.

T2 . T1

La temperatura de un cuerpo es una medida del promedio de la energía cinética de todas sus moléculas.

La temperatura se mide con el termómetro en grados Celsius (ºC) y grados Fahrenheit (ºF). Estas unidades no pertenecen al Sistema Internacional de Magnitudes. 2 Grados Celsius

Para medir la temperatura en grados Celsius se toman como puntos de referencia el punto de congelación del agua, al cual se le asigna una temperatura de 0 ºC, y el punto de ebullición del agua, al que se asigna una temperatura de 100 ºC. Punto de ebullición del agua.

100 ºC

Temperatura normal del cuerpo humano.

37 ºC

Punto de congelación del agua.

0 ºC

MÁS INFORMACIÓN Comparación de las unidades de temperatura Como entre los puntos de congelación y de ebullición del agua caben 100 grados Celsius o 180 grados Fahrenheit, las unidades de temperatura Fahrenheit son más pequeñas que las de temperatura Celsius. Cuando un termómetro en ºF sube un grado, un termómetro en ºC solo sube 5 de 1 ºC. 9

Entre los puntos 0 ºC y 100 ºC del termómetro hay 100 grados Celsius o centígrados, de aquí este segundo nombre de la escala. La temperatura normal del cuerpo humano es de 37 ºC; un pollo se hornea a 200 ºC y un jugo de naranja se conserva en buen estado a unos 4 ºC.

Identifica escalas de temperatura y convierte medidas de temperatura.

3 Grados Fahrenheit

Los termómetros de grados Fahrenheit y Celsius tienen los mismos puntos de referencia Punto de ebullición 212 ºF pero, al punto de congeladel agua. ción del agua se le asigna una temperatura de 32 ºF y al punto de ebullición del agua, Temperatura normal una temperatura de 212 ºF. 98.6 ºF del cuerpo humano. Entre los puntos 32 ºF y 212 ºF del termómetro hay 180 gra- Punto de congelación del agua. dos Fahrenheit.

El Sol. La temperatura en la superficie solar se estima en unos 5 500 ºC.

32 ºF

4 Conversiones de temperatura

MÁS INFORMACIÓN

Observa la siguiente tabla de conversiones de temperatura. Escala Kelvin

TºC = 5 x (TºF – 32º).

De ºF a ºC

9 9 x TºC + 32º. TºF = 5

De ºC a ºF

La escala Kelvin o escala de temperaturas absolutas es la propia del Sistema Internacional. La temperatura se mide en Kelvin (K), que no son grados.

EJEMPLOS RESUELTOS:

Para transformar temperaturas en grados Celsius a Kelvin y viceversa se usan las expresiones:

Convertir 40 ºC en ºF.

TºF = 9 x TºC + 32 = 9 x 40 ºC + 32 = 104 ºF. 5

TºC = Tk – 273º.

Convertir 125 ºF en ºC.

Tk = TºC + 273.

TºC = 5 x (TºF – 32) = 5 x (125 ºF – 32) = 51.67 ºC. 9

ACTIVIDADES 11 Convierte las temperaturas siguientes de grados Celsius a grados Fahrenheit.

• 25 ºC

• 64 ºC

• 150 ºC

• – 10 ºC

• 2 000 ºC

• 40 ºC

12 Convierte las temperaturas siguientes de grados Fahrenheit a grados Celsius.

• 80 ºF

• – 15 ºF

• 12 ºF

• 221 ºF

• 8 000 ºF

• – 4 ºF

13 Resuelve el problema.

• Unas barras metálicas están originalmente a 400 ºC y deben bajar su temperatura 50 ºC para una prueba de laboratorio. Si el único termómetro disponible está en grados Fahrenheit, ¿qué temperatura de las barras registrará el termómetro luego de enfriarse?

ACTIVIDADES

14 Lee y, luego, escribe cada medida angular como

se te indica.

19 Calcula la longitud, s, de cada uno de los arcos

siguientes.

La medida de un ángulo expresada en una sola unidad (grados, minutos o segundos) es una medida incompleja. En cambio, si está expresada en unidades distintas (grados, minutos y segundos), es una medida compleja.

p 8

r = 20 cm r=

95º

En forma compleja. s 12.625º

40.248º

60.045º

1 250’

5 000”

25 000”

En forma incompleja. 12º 37’ 30”, solo en grados. 40º 32”, solo en minutos. 25º 50’ 16”, solo en segundos. 0º 45’ 50”, solo en grados. 15 Convierte en radianes.

4º

125º

15º

40º 30’

16 Convierte al sistema sexagesimal.

2p rad 15 25p 36

12 40.5p 180

17 Responde.

¿A cuántos grados, minutos y segundos equivale un radián? ¿A qué fracción decimal de un radián equivale un grado sexagesimal?

20 Convierte.

12 lb a oz.

156.8 oz a lb. 1.25 lb a oz.

4.5 kg a lb.

400 oz a kg.

0.05 t a kg.

21 Lee y, luego, responde.

Un cuerpo de 8 kg está formado por dos piezas. ¿Si una pieza tiene una masa de 3.75 kg, 200 g, cuánto vale la masa de la otra pieza? 22 Resuelve el problema.

Una piscina tiene inicialmente 1 200 galones. Se quieren completar sus 2 500 galones, llenándola con una manguera que le aporta 250 L cada minuto. ¿En cuánto tiempo se llena la piscina? 23 Realiza las operaciones siguientes.

12 h 25 min 43 s

48 h 10 min 32 s

+ 15 h 9 min 27 s

– 22 h 45 min 58 s

24 Fíjate en las temperaturas marcadas por los ter-

mómetros y transfórmalas de grados Celsius a grados Fahrenheit o viceversa. 120 ºF

18 Observa y, luego, responde.

75.8 ºC

¿Cuánto mide el ángulo coloreado de la figura? 50 ºC

41º2’8”

40º45’37”

Describe qué hiciste para responder.

9 ºF

Competencias fundamentales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 25 Analiza y, luego, responde.

27 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

La cisterna de un bloque de apartamentos fue vaciada para limpiarla. La capacidad de la cisterna es de 400 000 L. Para volver a llenarla, la administración consultó a dos empresas de camiones cisterna con el fin de conseguir la mejor de las opciones. Abajo se muestra la capacidad de los camiones de cada empresa y los precios por viaje de vaciado. Empresa Agua Pura

Capacidad Precio por viaje 25 000 L

RD$ 5 000

El Manantial 33 333 L

RD$ 6 500

Responde. ¿Cuál de las opciones es la más barata? Describe en el grupo, paso a paso, qué hiciste para tomar tu decisión. 26 Calcula el largo de la soga de la polea, si el

radio del disco es de 12 cm, l1 = 0.8 m, l2 = 1.5 m y l4 = 2.1 m. l3

Si se tiene un recipiente de 1 metro cuadrado de área de su fondo y se vierte 1 litro de agua, esta alcanzará una determinada altura del recipiente. Calcula la altura que alcanza el agua. Escribe la altura en milímetros. Responde. ¿Cuántos litros de agua caben en bandejas de 1 m2 de área de fondo y 3 mm, 5 mm y 8 mm de altura? ¿A partir de los resultados anteriores, cómo definirías un litro? 28 Fíjate en el mapa pluviométrico y responde. 300-500 mm 501-700 mm 701-900 mm 901-1 300 mm 1 301-1 700 mm 1 701-1 900 mm 1 901-2 100 mm 2 101-2 300 mm 2 301-2 700 mm 2 701-3 100 mm

140º l2 Fuente: IDIAC.

l4 l1

¿En qué lugares del país se registran las mayores y menores precipitaciones? Menciona tres lugares de cada una de estas regiones. ¿Si pudieras recolectar en un recipiente de 1 m2 de fondo el promedio de la lluvia anual caída en una cualquiera de las regiones más lluviosas, cuántos metros de altura alcanzaría el agua? ¿Cuántos tanques de 55 galones podrías llenar con esa cantidad de agua?

EVALUACIÓN Comunica

Usa algoritmos

29 Describe con tus propias palabras los procedi-

34 Observa la figura y determina la medida del án-

mientos de transformación de unidades angulares del siguiente esquema.

gulo x en radianes. 5 cm

x 3 600 x 60

x 60

Grados

Minutos

2.5465 cm

Segundos

÷ 60

÷ 60 ÷ 3 600

35 Responde las preguntas.

30 Encierra los resultados de medidas de tempe-

ratura que no están escritos correctamente. • 25 ºC

• 18 ºc

• 100 F

• 64 ºF

• 5K

• 32 k

• ¿Qué peso, en libras, tiene un furgón de 950 kg, 175 lb y 4 800 onzas? • ¿Qué masa, en kilogramos, tiene un elefante africano macho de 5.6 t, 250 kg y 9 000 g?

Modela y representa

• ¿Qué capacidad, en galones, tiene una piscina de 30 kL, 12 daL y 250 L?

31 Convierte.

• ¿Qué lapso de tiempo, en horas, hay entre dos eventos separados por 5 días, 18 h y 14 400 s?

• 50º a radianes.

• 175º a radianes.

• 5p rad.

• 52.3p rad.

Conecta

180

36 Resuelve los problemas. 32 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

El Sistema Centesimal de medida angular, usado en agrimensura, utiliza como unidades el grado (1g), el minuto (1c) y el segundo (1cc) centesimales. 1º = 10 9

1g = 10

• Convierte al Sistema Centesimal. 25º

45º

90º

120º

• Convierte al Sistema Sexagesimal. 25 g

60 g

150 g

180 g

33 Expresa en grados, minutos y segundos

sexagesimales.

• 35.325º

• 128.78º

• 98.75’

• 19 818”

• 0.18 rad

• 102.25g

• Un ciclista salió a hacer un recorrido a las 9 horas, 55 minutos y 48 segundos. ¿Si tardó en llegar a su destino 2 horas, 17 minutos y 35 segundos, a qué hora, marcada por su reloj de precisión, llegó? • La temperatura promedio de nuestro planeta crece a un ritmo de unos 0.14 ºF cada 10 años. En la actualidad, la temperatura media de la Tierra es de alrededor de 59 ºF. ¿Si continuara el actual ritmo de calentamiento, cuál sería la temperatura media global, en ºC, en 25 años?

Resolución de problemas 37 Resuelve el problema siguiendo dos procedi-

mientos distintos. • Un diseñador quiere dar una amplitud 3 veces mayor a un ángulo que mide originalmente 18º 37’ 40”. ¿Cuánto medirá el ángulo después de la transformación?

Medición de logros .

38 Debate. Organicen una lectura del texto siguiente y, luego, expongan sus

opiniones, valoraciones críticas y conclusiones. Finalmente, respondan en sus cuadernos. El ser humano primitivo midió el mundo con su propio cuerpo. Para conocer las cosas independientes de sí mismo se sirvió de partes de su cuerpo: pie, brazo, dedo, mano, brazos abiertos, paso. Desde el punto de vista de desarrollo del pensamiento, el momento decisivo ocurrió cuando se pasó de “mi dedo” o “tu dedo” a la noción de “el dedo” en general. Se establecía una noción abstracta; una longitud fija y atemporal.” (Adaptado de Witold Kula, Las medidas y los hombres). • ¿Qué inconvenientes presentan las unidades de medida basadas en partes del cuerpo humano? • ¿Por qué la aparición de unidades fijas y permanentes en el tiempo significó un avance en el desarrollo de los procesos de medición? • ¿Cuáles unidades tradicionales y de uso en la cotidianidad popular conoces? Consulta con tus padres, familiares cercanos y relacionados.

39 Piensa y, luego, responde.

• ¿A tu juicio, por qué el establecimiento de sistemas de medidas es una valiosa contribución a las normas de la vida en común? • ¿Qué relación puedes establecer entre el símbolo de la justicia, una balanza en equilibrio y la administración de justicia? • ¿Por qué son importantes en los tratados internacionales de comercio los sistemas estandarizados de medidas?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 40 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Reconozco sistemas de unidades angulares. • Convierto medidas angulares de un sistema a otro. • Reconozco y transformo unidades de masa, peso y capacidad. • Identifico unidades de tiempo y realizo conversiones. • Identifico escalas de temperatura y transformo de una a otra. 41 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Qué importancia tiene para ti lo aprendido en esta unidad? • ¿Te gustaría profundizar en los temas tratados?¿Por qué?

PROYECTO I

Matemáticas, mezclas y aleaciones 1 ¿En qué consisten los problemas de aligación?

En la naturaleza, el comercio y los procesos industriales usualmente las sustancias y metales, las materias primas y los productos se presentan o producen en forma de mezclas o aleaciones de componentes distintos. El término aligación significa mezcla o unión. El conocimiento de la proporción de cada componente para conseguir una masa deseada o la determinación del precio de la mezcla son problemas de aligación.

Observa en el ejemplo cómo se aborda y se resuelve un problema de aligación. Un fabricante de especias usa cilantro, comino, cebolla

seca y pimiento en la preparación de una mezcla. En la mezcla hay un 30 % de cilantro, un 12 % de comino, 40 % de cebolla seca y un 18 % de pimiento. Los precios por gramo de cada especia componente aparecen en la tabla siguiente. ¿Cuál es el precio de 250 gramos de la mezcla? Especia

Cilantro

Comino

Cebolla

Pimiento

0.20

0.75

0.32

0.60

Precio, p($/g)

Primero, se determina la masa, m, de cada especia componente de la mezcla presente en M = 250 gramos: mCil = 30 % de 250 g = 75 g. g.

mCom = 12 % de 250 g = 30

mCeb = 40 % de 250 g = 100 g. mPim = 18 % de 250 g = 45 g. Luego, se calcula el precio, P, de cada gramo de la mezcla utilizando la expresión: P=

mCil x pCil + mCom x pCom + mCeb x pCeb + mpim x ppim M

Dando los valores correspondientes a las magnitudes presentes en la expresión anterior: P = 75 g x $ 0.20 + 30 g x $ 0.75 + 100 g x $ 0.32 + 45 g x $ 0.60 = $0.386 250 g Finalmente, el precio de 250 g de la mezcla de especias es: 250 g x $ 0.386 /g = $ 96.50

100

Inteligencia colaborativa

SABER HACER

Haz lo que se te pide. Consigue los precios por libra de tres clases de arroz de los que

normalmente se ofertan en los supermercados y, luego, llena una tabla como la que se muestra a continuación. Tipo de arroz

Precio por paquete (en $)

…………

Precio por libra (en $)

…………

Ahora, imagínate que vas a mezclar los tres tipos de arroz que

elegiste de la siguiente manera: 28 lb del arroz tipo A; 32 lb del tipo B y 20 lb del tipo C. Calcula el precio, por libra, al que deberás vender el arroz conseguido con la mezcla. Responde y justifica tu respuesta. ¿Si se mantiene el mismo peso de la mezcla, qué le ocurre

a su precio si aumentamos la cantidad de libras del arroz más caro y bajamos igual número de libras al arroz más barato? Comparte y comenta tus resultados con el grupo. 2 Quilates y milésimas

La fracción de metal precioso, como el oro o la plata, que contiene una aleación, indica la ley o pureza de una joya. La ley de una aleación con un metal precioso se mide en quilates y, más recientemente, en milésimas (24 quilates = 1 000 milésimas). Un quilate equivale a 1/24 de la masa de la joya. Una joya de oro de 14 quilates tiene 14/24 partes de su peso en oro y el resto de otros metales. La masa de oro de la aleación con que está hecha una joya de este metal se consigue multiplicando su número de quilates por la masa de la aleación y dividiendo el resultado por 24.

Resuelve el problema. Un joyero compra joyas deterioradas para extraer su parte de oro. Recibió en su establecimiento un viejo anillo de oro de 18 quilates con una masa de 10.4 g. El dueño del anillo le dijo al joyero que este tenía 8 g de oro. ¿Cómo ayudarías al joyero a saber si en verdad el anillo contiene esa cantidad de oro?

Experimenta en tu hogar. Junto a tus padres, escoge algunas piezas de oro de las cuales se conozca su número de quilates y diseñen una estrategia para calcular la cantidad de oro de las piezas. ¿Qué supuesto inicial o hipótesis es su punto de partida? ¿Qué harían para someter su hipótesis a prueba? Escribe las conclusiones a que llegaron. 101

Las medidas en la historia

Situación de aprendizaje Los procesos de medición acompañan a los seres humanos desde tiempos remotos –concluye el profesor de Ciencias Sociales, para dar paso a las intervenciones de los estudiantes–. Sergio, que había levantado la mano para exponer sus consideraciones, opinó: “Desde los inicios de la historia, los seres humanos han recurrido a las medidas para cuantificar bienes, productos agrícolas o unidades fabricadas, distancias de un lugar a otro y tiempos para iniciar o terminar una siembra”. Tras el intercambio de ideas, los estudiantes acabaron por comprender que cualquier comunidad humana necesita prácticas de medición y que estas se hacen más rigurosas al tiempo que son más precisos los instrumentos de medida y las sociedades, más complejas y exigentes.

Conceptos y procedimientos Unidades de medidas

de longitud, peso, masa, capacidad y tiempo. Intervalos de tiempo en-

tre dos acontecimientos. Husos horarios y cálcu-

lo de la hora en lugares lejanos. Conversiones de unida-

des de sistemas distintos. Actitudes y valores Valorar el papel de las

medidas en la historia. Apreciar el rigor y la

precisión de la vida.

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Qué relaciones puedes establecer entre el desarrollo

social y los avances de las prácticas de medición? ¿Qué ejemplos podrías dar para apoyar tu respuesta? ¿Cómo cambian los procesos de medición con el avan-

ce de la tecnología? Pon tres ejemplos. ¿Cómo contribuye la precisión de los sistemas de uni-

dades de medida con el desarrollo social?

102

OBSERVACIÓN ¿Cuáles instrumentos de medición identificas en las

ilustraciones? ¿Qué magnitudes o cantidades físicas se miden con ellos? ¿Cómo son los instrumentos actuales que han sustituido a

los que se muestran en estas ilustraciones? ¿Cuáles ventajas tienen los instrumentos de medición ac-

tuales respecto a los del pasado? Pon tres ejemplos.

103

MATEMÁTICAS, MEDIDAS Y SOCIEDAD

1 Lee y, luego, haz lo que se te pide. El desarrollo del mercantilismo en Europa estuvo precedido por la era de los grandes descubrimientos de fines del siglo XV. Quienes, como Vasco de Gama y Cristóbal Colón, se aventuraron a cruzar los océanos con el fin de buscar las fabulosas riquezas del Oriente, descritas por Marco Polo y otros viajeros, necesitaron no solo de audacia sino de instrumentos de medición que los guiaran en sus largas travesías alrededor del mundo. La expansión del comercio, el desarrollo de la ciencia y la tecnología y la búsqueda de medidas precisas de distancias, tiempos y pesos, fueron procesos paralelos.

Investiga y, luego, haz un listado de algunos procesos de medición asociados con los grandes descubrimientos y la era del mercantilismo. 2 Observa la tabla de unidades de medida antiguas y, luego, realiza

las conversiones. MAGNITUDES

UNIDADES

Longitud

Peso

Capacidad

Dedo = 1.80 cm

Arroba = 25 lb

Cuartilla = 4 L

Vara = 0.84 m

Fanega = 32 kg

Cántara = 16 L

Braza = 1.67 m

Carga de carreta = 3 875 lb

Tinaja = 128 L

15 dedos = …….. dm

0.25 vara = …….. cm

20 brazas = …….. dam

15 cm = …….. dedos

40 m = …….. varas

8.5 m = …….. brazas

0.40 arrobas = …….. lb

6.75 fanegas = …….. lb

0.12 cargas = …….. kg

18 lb = …….. fanegas

0.20 cuartilla = …….. mL

500 L = …….. tinajas

Responde las preguntas. ¿Qué relaciones tienen las unidades de medida antiguas con los oficios y actividades cotidianas? ¿Por qué esas unidades fueron cayendo en desuso con el avance de la ciencia y la tecnología?

104

Realiza transformaciones de unidades de medida diversas.

3 Une, mediante flechas, las masas que son equivalentes en las tres columnas.

5 kilogramos

0.4 hectogramos

5 decagramos

40 gramos

40 000 miligramos

5 000 gramos

500 decigramos

500 decagramos

0.04 kilogramos

4 000 centigramos

0.05 kilogramos

400 centigramos

4 Construye un problema, ambientado en la época correspondiente,

que se asocia a cada una de las informaciones dadas. El hekat se utilizaba en Egipto como unidad de capacidad de

contenedores de trigo. Su equivalencia actual es de 4.5 L. El estadio era una unidad de distancia de la antigua Grecia, equi-

valente a 174.125 metros. Un talento era en la antigua Grecia, una unidad de peso que era

igual al de la cantidad de agua que llena un ánfora, unos 26 kg. En la antigua Roma, una yunta era la superficie agraria que

requería de un día completo para ser trabajada. Equivale a cerca de 2 500 m2. Los boticarios del siglo XVIII usaban el escrúpulo como unidad

de peso para preparar medicinas. Equivale a 1.56 g.

Una vez concluida esta actividad, comparte y comenta con tus compañeros de curso los problemas que construiste. 5 Lee y, luego, resuelve el problema.

Un guardador de un bosque seco debe inspeccionar una zona. Le tomará unos dos días recorrerla y dispone de tres contenedores con agua de 1.4 L, 18 dL y 600 mL. Si debe beber 180 cL de agua por día, ¿le alcanzará el agua para los dos días?

105

MATEMÁTICAS, MEDIDAS Y SOCIEDAD

1 Lee y, luego, haz lo que se te pide. El tiempo, en las primeras civilizaciones sedentarias, estuvo asociado a las actividades agrarias. El ciclo anual de las estaciones guiaba la siembra y la cosecha. Por otro lado, la alternancia del día y la noche normaba la vida de las sociedades y durante el año se realizaban celebraciones periódicas diversas. Los griegos y romanos establecieron calendarios para sus fiestas y rituales en homenaje a sus dioses y héroes. En la Edad Media el tiempo se asociaba a los oficios religiosos: las campanas de las iglesias y los llamados Libros de horas marcaban tiempos con alguna precisión. Alcanzado el siglo XIX el tiempo se convirtió en un protagonista de la vida social.

Libro de horas. Pautaba los momentos del día en que debían hacerse las oraciones.

Investiga por qué la medida del tiempo adquiere importancia en la sociedad occidental moderna. 2 Aparea las medidas de tiempo que son equivalentes.

Reloj de sol.

3 Determina el intervalo de tiempo entre los acontecimientos, uno anterior, A,

y otro posterior, B. A ocurrió hace 8 h, 45 min y B ocurrió

A ocurrió hace 12 h, 5 min, 43 s y B ocu-

hace 1 h, 30 min.

rrió hace 5 h, 18 min, 30 s.

A ocurrió hace 12 h, 48 min, 20 s y B ocu-

A ocurrió hace 18 h, 10 min, 25 s y B ocu-

rrió hace 4 h, 22 min, 12 s.

rrió hace 7 h, 50 min, 42 s.

4 Calcula el tiempo total del viaje del autobús, conocidos los tiempos

transcurridos para ir de una terminal a otra. 1 h, 13 min, 4 s

LLEGADA SALIDA 1 h, 49 min, 26 s

5 h, 15 min 46 min, 52 s

Responde. ¿A qué hora llega el autobús a su destino? 106

Transforma medidas de tiempo y calcula intervalos temporales.

5 Lee y, luego, investiga. La Revolución Francesa trajo el establecimiento de un sistema unificado de pesos y medidas, cuyo propósito era acabar con la multitud de unidades de medida locales, que dificultaban el avance del conocimiento científico y las actividades comerciales. Con el industrialismo nacen el trabajo en las fábricas y las redes de comunicación ferroviarias. Ambas creaciones del siglo XIX condujeron a modificaciones profundas en la percepción y valor del tiempo: las fábricas empezaron a pagar a los operarios por el tiempo de trabajo en vez de por unidades producidas y, para buen el funcionamiento del sistema de trenes, se necesitó coordinar el tiempo entre las distintas estaciones. Estos cambios llevaron, posteriormente, a la invención del reloj de bolsillo como un instrumento para medir los tiempos por parte de las personas.

Averigua cómo impactó sobre la percepción del tiempo la iluminación nocturna de las ciudades. 6 Escribe la hora en el lugar P si te encuentras en el lugar

y la hora del personaje figurado. O

15º

10:30 a.m.

(Video) Mike Tyson vs Donnie Yen (Ultimate Fight Scene)

22.5º 10:30 p.m.

P 60º 4:15 p.m.

7 Analicen y resuelvan los problemas. Luego,

expliquen qué hicieron para resolverlos. Una piscina de 60 000 litros de capacidad fue vaciada para limpiarla. Después de limpiarla, se han colocado dos mangueras para llenarla. Una que aporta 200 litros de agua por minuto y otra, que aporta 100 litros por minuto. ¿En qué tiempo se llena la piscina? Si comenzó a llenarse a las 6: 15 de la mañana, ¿a qué

hora estará llena? Si para llenar la mitad de la piscina se hubiera utilizado únicamente la manguera de mayor caudal

e inmediatamente, una vez llena la mitad, se suma al llenado la otra manguera, ¿en qué tiempo se completa el llenado de la piscina? 107

SABER HACER Usa algoritmos 1 Comprueba las equivalencias y, si alguna no es correcta, corrígela.

25 km = 16 km, 78 hm, 1 200 m

15 hg = 0.8 kg, 30 dag, 400 g

1 800 mm = 0.12 dam, 4 dm, 20 cm

7.25 dg = 45 g, 2.45 dg, 300 mg

83 dam = 0.57 km, 220 m, 400 cm

0.42 t = 275 kg, 1 200 hg, 2 500 g

2 Observa la capacidad de cada recipiente y, luego, responde.

• ¿Cuántas botellas iguales se pueden llenar con el contenido del jarrón? • ¿En cuántos vasos se puede vaciar lo contenido en la botella? • ¿Cuántas cucharas iguales se llenan con el contenido del vaso? • ¿Cuántas cucharas llenan el jarrón?

1.5 L

1.5 cL

1.25 dL

2.5 mL

Razona y argumenta 3 Obtén la masa, x, del paquete, en kilogramos, en cada balanza. Las balanzas equilibradas.

750 dag

32 kg

150 hg 1 600 dg x

Conecta 4 En la tabla se muestran los períodos de rotación, en segundos, de algunos planetas

del sistema solar. Expresa esos períodos en días terrestres.

108

Marte

88 640 s

Júpiter

35 430 s

Saturno

30 360 s

Urano

60 480 s

SABER HACER

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 5

Lee y, luego, haz lo que se te pide. Un espejo es una superficie lisa en la que un rayo de luz es desviado o reflejado luego de tocarlo. El rayo de luz reflejado sigue moviéndose en el mismo medio en el que se movía antes de tocar la superficie del espejo. Un rayo de luz que choca con la superficie de un espejo cumple con la siguiente ley de la reflexión: El rayo incidente forma con la línea perpendicular al espejo en el punto de incidencia, el mismo ángulo que el rayo reflejado forma con dicha línea. Rayo incidente

Rayo reflejado

Periscopio. Dispositivo óptico usado por los submarinos para observar lo que ocurre en la superficie estando sumergidos.

E (Espejo)

Punto de incidencia

Responde las preguntas.

¿Cuánto miden los ángulos a y b de la figura de la derecha? ¿Qué hiciste para averiguar las medidas de los ángulos a y b?

Copia la figura y, luego, traza el rayo reflejado en el segundo espejo, E2.

b 90º 40º

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 6

Mide tu aprendizaje.

Iniciado

En proceso

Logrado

Transformo medidas de longitud y tiempo. Transformo medidas de peso, masa y capacidad. Calculo intervalos de tiempo. Calculo medidas angulares a partir de la ley de la reflexión. Reconozco el papel de las medidas en el desarrollo.

109

Polígonos. Construcciones geométricas

Punto de partida Un día Willy vio a su tío, que es agrónomo, calcular el área de una plantación de maíz. Le chocó la manera tan poco usual que usaba para calcular el área de aquella figura de contorno irregular. Al preguntar Willy sobre aquel extraño método de cálculo, su tío le dijo: —A fuerza de enfrentar sus problemas, los distintos oficios crean sus propias técnicas de cálculo. Willy recordó que había escuchado decir a su profesora de Geometría que los agricultores egipcios habían sido muy buenos en el cálculo del área de sus sembradíos a orillas del Nilo. Tenía razón su tío, las necesidades prácticas son un estímulo para la invención no solo de técnicas sino de nociones matemáticas. ¿Cuáles métodos has utilizado para

calcular el área de una figura? ¿Hay alguno en particular que te

haya parecido más seguro? ¿Cuál?

Conceptos y procedimientos Concepto de polígono.

Clasificación. Construcción

de polígonos. Perímetro y área

del círculo. Figuras mixtilíneas. Actitudes y valores Apreciar la capacidad

de inventiva del ser humano para enfrentar sus problemas. Valorar la dedicación al

trabajo y el cuidado de los medios para conseguir un fin. RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Cuántos lados y ángulos tiene el polígono siguiente?

¿Qué clase de polígono es?

¿Por qué el número de lados y de ángulos de un polígono

siempre es el mismo? ¿Qué procedimiento usarías para calcular su área? ¿Puede haber un polígono distinto al de la figura que tenga

su misma área?

110

OBSERVACIÓN ¿Dónde has visto terrenos divididos en parcelas

como el de la fotografía aérea de esta página? ¿Qué clase de figuras geométricas identificas en esta

fotografía aérea? ¿Cuáles de esas figuras son poligonales? ¿Qué nombres reciben las figuras planas formadas

por segmentos de recta y de curva?

111

CONCEPTO DE POLÍGONO. CLASIFICACIÓN

1 Concepto de polígono. Clasificación

RECUPERACIÓN

Una línea poligonal es un conjunto de segmentos de recta de un plano unidos en forma sucesiva por sus extremos. B E

Responde. • ¿Qué diferencia a una línea recta de un segmento? • ¿Y a un rayo o semirrecta de un segmento?

D Los segmentos AB y BC se unen en B, que es un extremo común a ambos segmentos. Dos segmentos sucesivos de una línea poligonal no pertenecen a una misma línea recta. Un polígono es una parte de un plano limitada por una línea poligonal cerrada.

B A

El polígono ABCDEF es la región del plano encerrada por la línea poligonal y la propia línea poligonal, que pasa a ser su borde o frontera. 2 Elementos de un polígono

Vértice Q

Diagonal Ángulo

S Lado

Un polígono está formado por un número limitado de lados, que son los segmentos de su borde, e igual número de ángulos, donde se unen dos lados consecutivos para formar un vértice. Cualquier segmento que una un vértice del polígono con otro no consecutivo, es una diagonal. El polígono PQRS tiene dos diagonales, PR y QS. Del vértice de un polígono de n lados, solo se pueden trazar n – 3 diagonales. EJEMPLO RESUELTO: El número de diagonales que sale

del vértice M del polígono MNOPQ que tiene n = 5 lados M es: n – 3 = 5 – 3 = 2. Estas diagonales son MO y MP. 112

O P Q

Reconoce, identifica los elementos y clasifica polígonos.

3 Clasificación de los polígonos

MÁS INFORMACIÓN

Los polígonos pueden agruparse:

Ángulos internos y externos de un polígono

Por su contorno: Son convexos, si el segmento que

une dos puntos de cualquier par de lados está contenido en el polígono.

B 4 5 2

Son cóncavos, si el segmento que une

dos puntos de cualquier par de lados no está contenido en el polígono.

Por sus lados y ángulos:

9 1 A 8

3 6 7 C

Son regulares, si todos sus lados y

Los ángulos 1, 2 y 3 son ángulos internos del polígono ABC.

todos sus ángulos tienen igual medida o son congruentes.

Los pares de ángulos 4, 5; 6, 7 y 8, 9 son ángulos externos del polígono ABC.

Son irregulares, si alguno de sus la-

Cada uno de los ángulos internos de un polígono regular de n lados mide: 180º x (n – 2) ÷ n.

dos o sus ángulos no es congruente con otro. Por su posición respecto a una circunferencia: Son inscritos, si todos sus vértices

Cada uno de los ángulos externos de un polígono regular de n lados mide: 360º ÷ n.

son puntos de una circunferencia. Son circunscritos, si sus lados tie-

nen un punto en común con la circunferencia.

ACTIVIDADES 1 Encierra lo que se te indica.

• Las líneas poligonales. • Los polígonos. 2 Obtén el número total N de diagonales de los siguientes polígonos de n lados.

Nota: N = n x (n – 3) ÷ 2. • Un polígono de n = 5 lados.

• Un polígono de n = 8 lados.

• Un polígono de n = 12 lados.

3 Dibuja lo que se te indica a continuación.

• Un polígono convexo de 6 lados.

• Un polígono cóncavo de 4 lados.

• Un polígono irregular de 5 lados.

113

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS, I

1 Construcción de un rectángulo de lados

RECUPERACIÓN

de longitudes conocidas Traza con una regla los segmentos siguientes.

Sigue atentamente el procedimiento descrito a continuación para construir, con regla y compás, un rectángulo de base AD = 8 cm y altura AB = 4 cm.

• Un segmento KL de 6 cm de longitud.

1.o Se traza con la regla un segmento AD , de 8 cm de largo y, apoyando el compás en el extremo A, se traza un arco que corte al segmento AD en un punto R.

• Un segmento MN de 9 cm de longitud. • Un segmento PQ de 125 cm de longitud.

2.o Con la misma abertura del compás, y apoyándolo en R, se traza un segundo arco que corte al primero en el punto S y, sin cambiar la abertura, se traza un tercer arco con centro en S que corte al primer arco en el punto T. Con los puntos S y T como centros, se trazan dos arcos que se cortarán en U. S

U T

3.o Desde el punto U, se traza una perpendicular al segmento AD y sobre esta perpendicular se miden 4 cm y se marca el punto B, quedando determinado el segmento AB . Con una abertura igual a AB se apoya el compás en D y se traza un arco y con una abertura igual a AD , se apoya el compás en B y se traza otro arco que cortará al anterior en un punto C. Finalmente, se trazan los segmentos BC y CD , obteniéndose el rectángulo ABCD.

4 cm A 114

Construye figuras geométricas con regla y compás.

2 Construcción de un rombo de lados

INTELIGENCIA COLABORATIVA

de longitud conocida Fíjate cómo se construye con regla y compás un rombo de lados de longitud de 5 cm.

Construcción de rombos conocidas sus diagonales

1.o Se traza con la regla el segmento AD y, apoyando el compás en el extremo A, se traza un arco con una abertura igual a la longitud de AD , 5 cm.

Investiguen en la internet cómo se construye un rombo conocidas sus diagonales y, luego, construyan rombos de diagonales con las medidas siguientes: 6 cm y 8 cm. 10 cm y 5 cm.

D A

2.o Se marca un punto B en cualquier lugar del arco trazado y apoyando el compás en B y, sin variar su abertura, se traza un segundo arco.

3. o Desde el punto D, sin modificar la abertura A D original, se traza un tercer arco que cortará al segundo en un punto C. Finalmente, se trazan los segmentos AB , BC y CD , obteniéndose el rombo ABCD de lado 5 cm. C

ACTIVIDADES 4 Construye los rectángulos de dimensiones especificadas.

• Un cuadrilátero de 7 cm de base y 5 cm de altura.

• Un cuadrilátero de 6 cm de base y 8 cm de altura.

5 Construye los rombos de dimensiones especificadas.

• Un rombo cuyos lados midan 6.5 cm.

• Un rombo cuyos lados midan 55 mm.

115

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS, II

1 Construcción de un triángulo equilátero

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Basta con que los tres lados de un triángulo sean de igual longitud para que sea un polígono regular? • ¿Y en el caso de un cuadrilátero de lados de igual longitud?

Para construir un triángulo equilátero de lados de longitud 5 cm: 1.o Se traza con la regla un segmento AC de 5 cm de largo y, apoyando el compás en el extremo A y con abertura igual a AC , se traza un arco.

2.o Con la misma abertura AC del compás y, apoyándolo en C, se traza un segundo arco que corte al primero en el punto B. Se trazan los segmentos AB y BC , que son los lados del triángulo equilátero. B B

2 Construcción de un cuadrado de lados

de longitud conocida Para construir un cuadrado de lados de longitud 7 cm, se emplea el mismo procedimiento que para construir el rectángulo en la página 114 pero, en este caso, con lados de igual longitud AD = AB . B B

7 cm

A 7 cm 116

Construye figuras geométricas con regla y compás.

3 Construcción de un hexágono regular

de lados de longitud conocida Para construir un hexágono regular de lados de longitud 5 cm: A

1.o Se traza con la regla un segmento AB de 5 cm de largo y, apoyando el compás en el extremo A y con abertura igual a AB , se traza un arco.

B O

Luego, con la misma abertura AB del compás y, apoyándolo en B, se traza un segundo arco que corte al primero en el punto O. Sin cambiar la abertura, se apoya el compás en el punto O y se traza una circunferencia que pasará por los puntos A y B.

2.o Sin modificar la abertura del compás, este se apoya en B y se traza un arco que cortará a la circunferencia en el punto C. Apoyando de nuevo el compás en C, se traza otro arco que cortará a la circunferencia en D y así sucesivamente hasta obtener los puntos E y F. Se unen mediante segmentos los puntos B y C; C y D; D y E; E y F y F y A, obteniéndose un hexágono regular de lados de longitud 5 cm.

ACTIVIDADES 6 Construye triángulos equiláteros y cuadrados cuyos lados tengan las longitudes dadas.

• 7 cm.

• 11 cm.

• 12.5 cm.

• 3

5 8

”.

7 Construye los hexágonos regulares de lados especificados.

• 6.8 cm.

• 75 mm.

• 10 cm.

• 5.5”.

117

PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS

RECUPERACIÓN Responde. • ¿En cuáles unidades medirías el perímetro de un libro?

1 Perímetro de un polígono El perímetro de un polígono es la longitud de su borde o frontera. Se calcula sumando las longitudes de todos sus lados.

• ¿Y el área de un solar? • ¿Qué diferencia a las unidades de medida de un perímetro y de un área?

EJEMPLO RESUELTO:

13 m

Calcular el perímetro

de un parque con la 10 m forma y las dimensiones mostradas en la figura de la derecha.

13 m 24 m

P = 10 m + 13 m + 13 m + 10 m + 24 m = 70 m. El parque tiene un perímetro de 70 metros. En el caso de un polígono regular de N lados, todos de longitud l, su perímetro P se calcula multiplicando el número de lados por la longitud de cada lado: P = N x l. EJEMPLO RESUELTO: Calcular el perímetro de la tapa de una caja hexagonal,

N = 6, cuyos lados miden l = 16.8 cm. P = N x l = 6 x 16.8 cm = 100.8 cm. La caja tiene un perímetro de 100.8 centímetros. Si se conoce el perímetro P de un polígono irregular y se desconoce la longitud de uno de sus lados, la longitud desconocida es la diferencia del perímetro y la suma de las longitudes conocidas de los lados restantes. En el caso de que se conozca el perímetro P de un polígono regular de N lados y se desconozca la longitud l de sus lados, dicha longitud es el resultado de dividir el perímetro por el número de lados del polígono: l = P ÷ N. EJEMPLO RESUELTO: El perímetro de un octágono regular, N = 8,

es P = 50.4 dm. ¿Cuánto miden los lados del octágono? l = P ÷ N = 50.4 dm ÷ 8 = 6.3 dm. Los lados del octágono miden 6.3 decímetros.

118

Calcula perímetros y áreas de polígonos regulares e irregulares.

2 Área de un polígono

RECUERDA

El área A de un polígono regular es la mitad del producto de su perímetro P por la longitud de su apotema, a: A = (P x a) ÷ 2.

Áreas del triángulo, el rectángulo y el cuadrado

EJEMPLO RESUELTO: 10 cm

Calcular el área del polígono regular.

P = N x l = 7 x 10 cm = 70 cm.

10.38 cm

Entonces:

A = (Base x altura) ÷ 2.

A = (70 cm x 10.38 cm) ÷ 2 = 363.3

cm2.

Si el polígono es irregular, se descompone en triángulos, cuadrados y rectángulos y se suman sus áreas.

h b

EJEMPLO RESUELTO:

A = Base x altura.

Calcular el área del polígono irregular.

El área es la suma de las áreas del cuadrado y los triángulos. A1 = 5 m x 5 m = 25

4m 2

m2.

A2 = (4 m x 5 m) ÷ 2 = 10 m2.

A3 = (9 m x 3 m) ÷ 2 = 13.5 m2.

A = Lado2.

A = 25 m2 + 10 m2 + 13.5 m2 = 48.5 m2.

ACTIVIDADES 8 Calcula el perímetro y el área de los polígonos siguientes. Usa tu calculadora.

3 cm 15 cm

10.32 dm

4 cm

15 cm 7.5” 9.80”

4 cm

9 Resuelve los problemas.

• Un terreno rectangular de área 784 m2 tiene de largo 49 m. ¿Cuánto mide de ancho el terreno? • ¿Cuánto mediría de lado un terreno cuadrado que tenga la misma área del terreno rectangular del problema anterior?

119

ACTIVIDADES

10 Dibuja, en tu cuaderno, las figuras especificadas.

14 Determina la medida de los ángulos internos de

cada polígono regular.

Una línea poligonal abierta, formada por cuatro segmentos.

n=5

n=7

n = 12

Un polígono irregular convexo de cinco lados. Un polígono irregular cóncavo de seis lados. Un polígono de cuatro lados inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. =

11 Copia los polígonos y, lego, traza todas sus dia-

gonales. Comprueba tus resultados con la fórmula del número total de diagonales.

15 Observa el segmento AB y, luego, responde

la pregunta. A

Una vez tengas el segmento AB, ¿cuál es el paso con el que comenzarías a construir un rectángulo cuya base sea AB? ¿Y el paso con el que comenzarías a construir un rombo de lados de longitud igual a la del segmento AB? 16 Construye sobre pliegos de cartulina.

Un rectángulo de 15 cm de base y 6 cm de altura. Un rombo cuyos lados midan 10 cm. 12 Colorea de rojo los ángulos internos, y de verde

dos ángulos externos del triángulo siguiente. Mide los ángulos con un transportador y comprueba que un ángulo externo es el suplemento del ángulo interno consecutivo.

Un cuadrado cuyos lados midan 12.5 cm. Un triángulo equilátero cuyos lados midan 96 mm. 17 Obtén el perímetro y el área de las siguientes

piezas metálicas poligonales 15” 11” 15” 10” 15” 10”

15 cm

12 cm 13 Explica.

¿Por qué un triángulo es siempre convexo? ¿Por qué un polígono inscrito no puede ser cóncavo?

120

5 cm Di qué hiciste para obtener el perímetro de cada pieza.

Competencias fundamentales.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 18 Lee y, luego, calcula lo que se te pide.

Se quieren realizar cambios en una sala de estar y se ha encargado a una compañía de diseñadores la elaboración del presupuesto. La compañía requirió la siguiente maqueta para determinar los costos en materiales. El costo de las cenefas. El costo del linóleo del piso y el de los cristales antirreflejo. El costo de la cantidad de galones necesarios para dar dos manos de pintura al techo y las paredes. NOTA: Se utilizará una pintura cuyo rendimiento es de 38 m2 por galón por mano.

Precios de los materiales Cenefas

RD$ 200/m2

Linóleo

RD$ 1 075/m2

Cristales antirreflejo

RD$ 1 400/m2

Pintura

RD$ 520/galón

1.4 m

4.5 m 0.8 m

1.8 m

1.2 m

2.85 m

1.2 m 2.3 m 1.2 m

0.2 m

0.8 m

2.3 m

0.2 m 1.6 m

19 Observa los polígonos siguientes de igual

base, haz lo que se te pide y, luego, responde.

20 Descubre un procedimiento para calcular el

área del hexágono regular siguiente. l

¿Si recortaras el triángulo de la izquierda del paralelogramo de la derecha y lo pegaras a su derecha, qué compruebas? ¿Qué conclusiones sacas sobre sus áreas? ¿Tienen el mismo perímetro?

1 2

21 ¿Qué fracción del polígo-

no representa su parte coloreada?

121

EVALUACIÓN Comunica

Usa algoritmo

22 Las letras a, b y c representan las longitudes de

27 Si la altura de un triángulo equilátero divide a

los lados de un triángulo cualquiera. Enuncia con una sola frase las siguientes desigualdades.

su base en dos partes iguales, calcula el área del siguiente triángulo.

• a+b>c a

• a+c>b

c 8”

8”

• b+c>a b 23 Explica por qué el polígono siguiente no está

inscrito en la circunferencia. B

8” 28 Si la circunferencia de un círculo de radio r es

2 x p x r y su área es p x r2, calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras mixtilíneas. 6” c 2”

F E

6.88 cm

Razona y argumenta

10 cm

Modela y representa

24 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

Las dos diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios.

9”

29 Traza las figuras sobre cartulina, con regla y

compás y a una escala de 3 : 1. d

• Demuestra, utilizando la fórmula del área del triángulo, que el área A del rombo se calcula con la expresión: A = (D x d) ÷ 2. 25 Piensa y, luego, haz lo que se te pide.

• ¿Cómo calculas el perímetro de un rectángulo de área y base conocidas? • Obtén el perímetro de un rectángulo de área 495.30 cm2 y de base de 25.40 cm. 26 Calcula el área de una lámina de forma cuadrada,

Conecta 30 Calcula.

• Luisa llevó a la clase de Educación Artística la figura siguiente. ¿Qué cantidad de papel, en cm2, tiene la figura construida por Luisa? 10 cm 2 cm

2 cm

6 cm

cuya diagonal mide 10 2 cm. • Piensa. ¿Por qué no puedes aplicar el mismo procedimiento en caso de un rectángulo?

122

10 cm

Medición de logros.

31 Debate. Lean del texto y, luego, hagan lo que se les pide.

Los agrónomos suelen estimar el área de un terreno de forma irregular, trazando la línea AB horizontal de mayor longitud entre dos puntos de la periferia del terreno y, a seguidas, segmentos paralelos perpendiculares a la línea horizontal igualmente espaciados, 1, 2, 3,… que unan puntos opuestos de la periferia. Luego, calculan el promedio de las longitudes de los segmentos 1, 2, 3,… y lo multiplican por el largo de AB. El resultado obtenido es el área estimada del terreno, que será más exacta cuanto más segmentos paralelos se tracen. • Midan las longitudes de AB y de 1, 2,… y calculen con el método descrito el área de la figura de la derecha. • Organicen un debate acerca del método de los agrónomos, en busca de responder, ¿por qué funciona el método? ¿Qué ventajas tiene este método comparado con la descomposición del terreno en triángulos y rectángulos?

• Anoten y lean, al final de la actividad, las conclusiones de la discusión.

32 Piensa y, luego, responde las preguntas.

• ¿Cómo contribuyen los retos con el desarrollo personal y colectivo? • ¿Cómo reaccionas ante las dificultades? ¿Te contrarían o te estimulan? • ¿Qué valor das a la dedicación y el cuidado de tus trabajos?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 33 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Reconozco y clasifico polígonos diversos. • Construyo figuras geométricas con regla y compás. • Calculo perímetros y áreas de polígonos. • Resuelvo problemas de contextos reales. 34 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Cómo juzgas tu trabajo con los contenidos estudiados en la unidad? • ¿Consideras que debes reforzar algunos de los temas tratados? ¿Por qué? ¿Cuáles temas?

123

Cuerpos geométricos. Área

Punto de partida Nuestro planeta, que nos da una primera impresión de solidez y permanencia, está sometido a factores que lentamente y de manera sostenida lo modifican. Milena está sorprendida por lo que escucha decir a su profesora acerca de los cambios que ocurren en la Tierra, por acción de los vientos, las lluvias y el curso de los ríos, las mareas y los movimientos, a veces violentos, de la corteza terrestre. El relieve de la Tierra sufre hundimientos o elevaciones, se alisa o se hace accidentado. Nuestra isla se elevó desde el océano. Los vientos van, grano a grano, cambiando la forma y el tamaño de las rocas y las corrientes de agua terminan por depositar el material de las montañas en los valles o en el mar.

Conceptos y procedimientos Poliedros. Prismas y pirámides. Áreas de poliedros. Áreas de cuerpos

redondos. Proyecciones

ortogonales. Actitudes y valores Valorar los recursos

naturales. Apreciar la belleza

de nuestros paisajes.

¿Te causa asombro, como a Milena,

el saber que nuestro planeta está sujeto a cambios? ¿Qué accidentes geográficos pue-

des identificar a tu alrededor? RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS Resuelve los problemas. Un centímetro cúbico del material de que está hecha la cor-

teza terrestre tiene cerca de 5 gramos. Es decir, la densidad promedio de la corteza terrestre es de unos 5 g/cm3. ¿Cuál es la masa en kilogramos de un trozo de roca en forma de un cubo y cuya arista mide 10 cm? Una meseta rocosa tiene forma de un paralelepípedo. Se eleva

unos 350 metros desde el suelo y su cara superior tiene cerca de 0.40 km de ancho por unos 0.70 km de largo. ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, de la parte superior de la meseta?

124

OBSERVACIÓN ¿Dónde has visto paisajes que sean similares a los

de las ilustraciones? ¿A la acción de cuáles factores físicos atribuyes las ca-

racterísticas de estos paisajes? ¿Cuáles acciones de origen humano o antrópico mo-

difican el paisaje natural? ¿Qué otros tipos de accidentes geográficos has obser-

vado en algunos lugares que hayas visitado? Describe sus características.

125

POLIEDROS

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Cuántas son las caras de un cubo? • ¿Qué polígonos forman las caras de un cubo?

1 Concepto de poliedro Un cuerpo poliedro es una porción del espacio limitada por polígonos regulares o irregulares.

Los siguientes son cuerpos poliedros. Observa que están limitados por distintas clases de polígonos.

• ¿Qué distingue a un cubo de un paralelepípedo?

2 Elementos de un poliedro

Un poliedro está formado por los siguientes elementos: Cara Vértice Arista El poliedro anterior tiene 5 caras, 6 vértices y 9 aristas. Un poliedro es convexo cuando queda a un solo lado del plano en que descansa o contiene una cualquiera de sus caras. Si esto no ocurre, el poliedro es cóncavo. Poliedro cóncavo

Poliedro convexo

Plano B

A Plano

El poliedro convexo está completamente por encima del plano en que descansa su cara A. En cambio, el poliedro cóncavo queda dividido en dos partes, una parte por encima y otra por debajo del plano que contiene a su cara B. 3 Fórmula de Euler

En todo poliedro convexo se verifica que la suma de su número de caras (C) y su número de vértices (V) es igual a su número de aristas (A) más 2: C + V = A + 2. Cúpula de vidrio. Los poliedros son elementos con mucha presencia en la ingeniería y la arquitectura.

126

La igualdad anterior se conoce como la fórmula de Euler que muestra que los números de caras, vértices y aristas de un poliedro no son independientes.

Reconoce y clasifica poliedros diversos.

4 Clasificación de los poliedros

MÁS INFORMACIÓN

Los poliedros se clasifican en regulares o irregulares. Un poliedro regular está formado por caras que son polígonos regulares congruentes. En cada uno de sus vértices concurre el mismo número de aristas. Un poliedro irregular está formado por caras que son polígonos distintos.

Diagonales de un poliedro Una diagonal de un poliedro es un segmento que une dos vértices no pertenecientes a una misma cara. Observa las diagonales 1, 2 y 3 del paralelepípedo.

Solo existen cinco poliedros regulares, sus caras son triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos regulares.

1 2

Los poliedros regulares se muestran en la siguiente tabla.

Nombre

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4 triángulos equiláteros

6 cuadrados

8 triángulos equiláteros

12 pentágonos regulares

20 triángulos equiláteros

Figura

Formado por …

ACTIVIDADES 1 Encierra los poliedros convexos.

2 Comprueba la fórmula de Euler para tres cualesquiera de los poliedros regulares de la tabla anterior. 3 Determina el número de caras, vértices o aristas de los poliedros especificados.

• Un poliedro de 4 caras y 4 vértices.

• Un poliedro de 15 aristas y 7 caras.

• Un poliedro de 10 vértices y 20 aristas.

4 Observa el poliedro de la derecha y, luego, responde las preguntas.

• Todas sus caras son triángulos congruentes, ¿es regular? • ¿Por qué respondiste como lo hiciste?

127

PRISMAS Y PIRÁMIDES

RECUPERACIÓN Observa los poliedros siguientes y di cuántas caras, vértices y aristas tienen.

1 Concepto de prisma. Elementos

Un prisma es el poliedro limitado por dos caras paralelas, llamadas bases, que son polígonos congruentes y las demás caras son paralelogramos. El poliedro siguiente es un prisma. Un prisma está formado por los siguientes elementos:

Base (caras paralelas y congruentes)

Arista lateral Cara lateral Arista de una base

Si n es el número de lados del polígono de su base, el prisma tiene n + 2 caras; 2 x n vértices y 3 x n aristas. EJEMPLO RESUELTO: ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene un prisma cuyas

bases son hexágonos? Como n = 6, el prisma de base hexagonal tendrá: n + 2 = 6 + 2 = 8 caras.

2 x n = 2 x 6 = 12 vértices.

3 x n = 3 x 6 = 18 aristas. 2 Clasificación de los prismas

Los prismas se clasifican en rectos y oblicuos. En un prisma recto, todas sus caras laterales son rectángulares. En un prisma oblicuo, sus caras laterales no son rectángulos sino rombos o romboides. Prisma recto

Prisma oblicuo

90º Cristales. Muchos minerales cristalizan formando poliedros de gran belleza.

128

≠ 90º

Reconoce y clasifica prismas y pirámides.

3 Concepto de pirámide. Elementos

MÁS INFORMACIÓN

Una pirámide es el poliedro limitado por una cara poligonal y cuyas otras caras son triángulos con un vértice común.

Prismas y pirámides regulares

Observa las siguientes pirámides y sus elementos. Cúspide

Un prisma y una pirámide son regulares si son rectos y el polígono de la base es regular.

Cara lateral Base 4 Clasificación de las pirámides

Prisma regular

Apotema lateral, al

Las pirámides se clasifican en rectas y oblicuas. Las caras laterales de una pirámide recta son todas triángulos equiláteros o isósceles. La pirámide oblicua tiene caras laterales que no son triángulos equiláteros o isósceles. Pirámide recta

Pirámide oblicua

Pirámide regular

El segmento perpendicular que une las aristas de la base de una pirámide regular con su cúspide es una apotema lateral, al.

Si n es el número de lados de la base de una pirámide, dicha pirámide tiene n + 1 caras; n + 1 vértices y 2 x n aristas. EJEMPLOS: ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene una pirámide cuya

base es un octágono? Como n = 8, la pirámide de base octagonal tendrá: n + 1 = 8 + 1 = 9 caras.

n + 1 = 8 + 1 = 9 vértices.

2 x n = 2 x 8 = 16 aristas. ACTIVIDADES 5 Determina lo que se te pide.

• El número de caras de un pris- • El número de aristas de una pi- • El número de vértices de un prisma pentagonal. rámide heptagonal. ma octagonal. 6 Resuelve el problema.

• Se quiere construir una carpa con forma de prisma pentagonal con un tope en forma de pirámide. ¿Cuántas piezas laterales de lona rectangulares y triangulares se necesitarán?

129

ÁREAS DE POLIEDROS

1 Áreas de poliedros

RECUPERACIÓN Resuelve el problema. • Un prisma tiene por base un octágono de 15 cm de lado y 18.11 cm de apotema. ¿Cuál es el área de la base del prisma octagonal?

El área total de un prisma es la suma de las áreas de sus bases y de sus caras laterales: APrisma = 2 x ABase + ALateral. Observa la malla o plantilla de un prisma recto de base cuadrada: ABase Perímetro de las bases

ALateral ABase

2.75 cm 4 cm

Al desplegar el prisma, su parte lateral es un rectángulo de base igual al perímetro PBase del polígono de la base (polígono basal) y de altura h igual a la altura el prisma. Así, el área total del prisma es: APrisma = 2 x ABase + PBase x h. EJEMPLO RESUELTO:

8 cm

Calcular el área total del prisma de la izquierda.

A = 2 x (5 x 4 cm x 2.75 cm ÷ 2) + 5 x 4 cm x 8 cm = 215 cm2. 2 Área de una pirámide recta

El área total de una pirámide recta es la suma de las áreas de su base y de sus caras laterales: APirámide = ABase + A Lateral.

L L

ALateral ABasal

Si PBase es el perímetro de la base de la pirámide, entonces, al desplegarla como una malla, su área se calcula como sigue: 5”

APirámide = ABase + n x [(L x a1) ÷ 2] = ABase + (PBase x a1) ÷ 2. EJEMPLO RESUELTO: El área total de la pirámide de la izquierda es:

8” 8” 130

A = (8”)2 + (4 x 8” x 5”) ÷ 2 = 144 pulgadas2.

Calcula áreas de poliedros diversos.

3 Áreas de poliedros regulares

Para determinar el área total de los cinco poliedros regulares de aristas, l, se usan las expresiones siguientes: Nombre

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Icosaedro

Figura

Área

Dodecaedro

1.73 x l2

6 x l2

3.46 x l2

20.65 x l2

8.66 x l2

EJEMPLO RESUELTO: Determinar el área total del icosaedro de la derecha.

l = 5 cm

A = 8.66 x l2 = 8.66 x (5 cm)2 = 216.50 cm2. 4 Área de poliedros compuestos

El área total de un poliedro compuesto de poliedros distintos se calcula sumando las áreas de los poliedros componentes sin tomar en cuenta las áreas que se superponen. EJEMPLO RESUELTO:

10 cm

Calcular el área total del poliedro de la derecha.

Como el área basal del tope piramidal se superpone a la cara superior del prisma, se eliminan estas caras:

20 cm

A = (16 cm)2 + 4 x 16 cm x 20 cm + 4 x 16 cm x 10 cm. 16 cm

A = 256 cm2 + 1 280 cm2 + 640 cm2 = 2 176 cm2.

16 cm

ACTIVIDADES 7 Obtén el área total de los siguientes poliedros.

12 cm

A = 120 cm2

15 cm

55.04”

56.73”

20 cm

20 cm 15 cm

20”

• Describe en tu cuaderno el procedimiento que utilizaste para calcular cada una las áreas anteriores y, luego, comparte tus descripciones con tus compañeros de curso.

131

ÁREAS DE CUERPOS REDONDOS

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Qué diferencia hay entre un cuerpo redondo y un cuerpo poliedro?

1 El cilindro

El cilindro es un cuerpo redondo con dos bases que son círculos paralelos y congruentes. Los cuerpos siguientes son cilindros con sus elementos. Base circular Superficie lateral

Altura, h

Radio de la base, r Cilindro recto Cilindro oblicuo 2 El cono

El cono es un cuerpo redondo con una sola base que es un círculo y un vértice. Los cuerpos siguientes son conos con sus elementos. MÁS INFORMACIÓN Cuerpos de revolución. El cilindro y el cono rectos y la esfera son cuerpos de revolución porque se generan por la rotación de figuras planas.

Vértice Superficie lateral curva

Altura, h

Base Radio de la base, r Cono recto Cono oblicuo 3 La esfera

La esfera es un cuerpo redondo tal que cualquier punto de su superficie es equidistante de un punto interior que es su centro. El cuerpo siguiente es una esfera con sus elementos. Círculo máximo

Centro

•

Radio, r

Diámetro, 2r

El segmento que une dos puntos de la superficie de una esfera y tal que su punto medio es el centro de la esfera es un diámetro. Un círculo máximo de la esfera tiene el mismo radio y el mismo centro de la esfera. 132

Identifica cuerpos redondos y calcula sus áreas.

4 Áreas del cilindro, el cono y la esfera

El área total de un cilindro recto es la suma de las áreas de sus bases circulares y de su superficie lateral: r r h

2xπxr r r

De la figura se infiere que: ACilindro = 2 x π x r2 + 2 x π x r x h. El área total de un cono es la suma del área de su base y de su superficie lateral: g

Generatriz, g

r 4 cm r

6 cm

El área total del cono se calcula con: ACono = π x r2 + π x r x g. El área de una esfera se obtiene con: AEsfera = 4 x π x r2. 8”

EJEMPLOS RESUELTOS:

5”

Determinar el área de un cilindro, de radio basal de 6

cm y altura 4 cm.

g = (8”)2 + (5”)2 = 9.43”

A = 2 x 3.14 x (6 cm)2 + 2 x 3.14 x 6 cm x 4 cm = 376.8 cm2. Obtener el área del cono, de radio basal de 5” y altura 8”.

A = 3.14 x (5”)2 + 3.14 x 5” x 9.43” = 226.55 pulg2. Calcular el área de la esfera, de radio 5 cm.

A = 4 x 3.14 x (5 cm)2 = 314 cm2.

5 cm

ACTIVIDADES 8 Obtén el área total de los siguientes cuerpos redondos y, luego, describe el procedimiento que usaste.

12 cm

15 cm

Área = 28.5 cm

10”

0.50 m 0.20 m

7.5”

133

PROYECCIONES ORTOGONALES

RECUPERACIÓN Observa la figura y, luego, responde.

1 Proyección de un cuerpo sobre un plano

Observa la figura siguiente. E

Cuerpo

5” C

B A

Proyección C’

B’

E’ A’

D’

Plano • ¿Qué figura forma la sombra del cilindro en el piso?

Cada punto de la pirámide ABCDE se hace corresponder con un punto del plano que se encuentra debajo.

• ¿Y en la pared?

La figura plana A’B’C’D’E’ es una proyección de la pirámide ABCDE sobre el plano. Las líneas paralelas que llevan hasta el plano a cada punto de la pirámide se llaman líneas proyectantes. En la figura anterior hay representadas cinco líneas proyectantes, correspondientes a los cinco vértices de la pirámide: AA’||BB’||CC’||DD’||EE’. 2 Proyecciones ortogonales

Cuando las líneas proyectantes son perpendiculares al plano, mediante ellas se consigue una proyección ortogonal del cuerpo. Cuerpo E B

D B’

Proyección ortogonal

C’ E’

A’

D’

Plano

La proyección ortogonal de la pirámide de base cuadrada ABCDE es el cuadrado A’B’C’D’. El vértice E de la pirámide proyectada es el punto E’ del interior del cuadrado A’B’C’D’. Fíjate en la figura anterior que las rectas proyectantes son perpendiculares a las rectas A’B’, B’C’, C’D’ y A’D’: AA’'A’D’ ; BB’'B’C’ ; CC’'B’C’ y DD’'A’D’.

134

Identifico proyecciones ortogonales.

3 Vistas ortogonales de un cuerpo

Las vistas ortogonales son proyecciones ortogonales de un cuerpo sobre tres planos perpendiculares. Hay tres vistas ortogonales: la planta, el perfil y el alzado. La planta es la proyección ortogonal sobre el plano horizontal, I; el perfil, la proyección sobre el plano vertical izquierdo, II; y el alzado, la proyección vertical sobre el plano vertical de fondo, III.

INTELIGENCIA COLABORATIVA Construcción de un cuerpo a partir de sus vistas Observen las tres vistas de un cuerpo geométrico y construyan el cuerpo, usando cartulina, a partir de ellas. Perfil:

Alzado 9 cm Perfil Alzado:

16 cm

9 cm

Planta

12 cm

EJEMPLO:

Planta:

Observa las tres vistas del poliedro cóncavo siguiente.

12 cm

Alzado Perfil Plano III

16 cm

Plano II Planta Plano I

ACTIVIDADES 9 Dibuja en tu cuaderno las vistas ortogonales de los cuerpos siguientes.

135

ACTIVIDADES

10 Completa la tabla relativa a prismas.

Número de lados de la base, N

14 Calcula la altura de un prisma regular hexagonal

siguiente, si su área total es de 5 219.1 cm2. 3

15 cm

Número de caras, N + 2

Número de vértices, 2N

Número de aristas, 3N

12.99 cm

27 15 Resuelve los problemas.

11 Di si con el número de caras, vértices y aristas

dado puedes construir un poliedro. 7 caras, 10 vértices y 15 aristas. 8 caras, 7 vértices y 12 aristas.

Se quiere colocar una etiqueta que rodee a un pote de tomates en conserva de forma cilíndrica de diámetro 11.4 cm y 15 cm de altura. ¿Cuánto papel se usará en la etiqueta?

12 caras, 9 vértices y 20 aristas. 12 caras, 20 vértices y 30 aristas. 12 Determina la longitud de la diagonal AG del si-

guiente prisma de base rectangular. NOTA: Los triángulos ACD y AGC son rectángulos. F G H

B A

¿Cuántos metros cuadrados de lona tiene una casa de campaña en forma de pirámide de base cuadrada de 3.2 m de lado y cuya apotema lateral mide 4.31 m?

C D

13 Obtén el área total de los siguientes prismas.

16 Lee con detenimiento y, luego, responde.

El radio de la esfera es de 15 cm. El cono tiene una base y una altura de igual longitud que el radio de la esfera en que está contenido. ¿Qué porcentaje del área de la esfera representa el área del cono?

cara son iguales. 10” 15” 10” 15” 10” 5”

12” Un prisma de altura 16” y cuya base es un pentágono regular de 8.26”.

136

8.26”

16”

17 Calcula el área del poliedro, si los huecos de cada

7.07 cm Un prisma de altura 12 cm y cuya base es un cuadrado de diagonal de 12 cm 7.071 cm.

18 Determina las tres vistas del cuerpo.

Competencias fundamentales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 19 Lee y, luego, responde.

22 Fíjate en el cubo siguiente y descubre un ca-

Se quiere empañetar el exterior de un silo cilíndrico de 10 m de altura y 6 m de diámetro. El costo de empañete es de RD$ 295.00 por metro cuadrado, ¿cuánto costará empañetar la superficie lateral del silo?

mino para determinar que la longitud L de cualquiera de sus diagonales es: L = a 3 . 10 m a

23 La figura representa un estuche de plástico

20 Calcula el número total de azulejos de di-

mensiones 10 cm x 10 cm necesarios para cubrir las paredes interiores y el fondo de la piscina siguiente.

que encierra un tubo cilíndrico del mismo material encajado por completo en el primero. Calcula cuántos cm2 más de material plástico tiene el estuche que el tubo cilíndrico.

10 m

2r r = 4 cm

5.5 m

L = 10 cm

2r 24 Lee y, luego, responde.

21 Lee y, luego, responde.

Se enrolla por el lado más largo una hoja de papel de 8 ½” x 11” para formar la superficie lateral de un cilindro. Si la superficie lateral del cilindro se forma enrollando por el lado menos largo, ¿cambia el área lateral de la superficie cilíndrica?

¿Cuál es el costo del material plástico utilizado en la construcción de un tinaco como el de la figura, si el precio del plástico es de RD$ 320 el metro cuadrado? 1.26 m 1m

Si completáramos los cilindros con sus bases, ¿cuáles serán sus superficies totales?

0.3 m

h 2.5 m

L L L

1.8 m Explica en el grupo qué hiciste para resolver el problema del fabricante.

137

EVALUACIÓN Comunica

Usa algoritmos

25 Fíjate en la superficie lateral de una pirámide

28 Identifica el poliedro que no cumple con la fór-

regular. ¿Cómo enunciarías la expresión para calcular su área?

mula de Euler.

L L

L a

L L

L A = (4 x L) x a ÷ 2.

Razona y argumenta

29 Resuelve el problema.

• Manuel construye un paralelepípedo de cartulina de 40 cm de largo, 20 cm de ancho y 15 cm de altura. Si la cartulina tiene un gramaje de 250 gramos /m2, ¿cuántos gramos tiene el paralelepípedo construido?

26 Piensa y, luego, responde justificando

tu respuesta. • ¿Cuál es el número mínimo de caras laterales que puede tener un prisma?

30 Calcula el área total de los cuerpos geométricos

siguientes. 8” 8”

• ¿Con cuál argumento podrías asegurar que el cuerpo siguiente es una pirámide?

5” 10”

12 cm

15 cm

12 cm

10”

Conecta 31 Resuelve el problema.

Modela y representa 27 Amplía en una fotocopiadora y, luego, calca las

mallas siguientes. Finalmente, construye los cuerpos geométricos que les corresponden. Comprueba que cumplen con la fórmula de Euler.

• En la tabla se muestran los tres tipos de lata que produce un fabricante, sus dimensiones en cm y los precios del material de que están hechas, en RD$/cm 2. Una empresa envasadora de atún quiere saber cuál de las latas le sale más barata para reducir los costos. ¿Por cuál clase de lata debería decidirse la envasadora? Clase de lata

Radio de la lata

Altura de la lata

0.020

0.023

0.032

Precio del material

138

Medición de logros

32 Resolución de problemas. Lee el texto y, luego, explora la solución

del problema.

El astrónomo, físico y matemático alemán Johannes Kepler (15711630), en una obra temprana, creyó que las órbitas planetarias estaban encajadas en los cinco poliedros regulares, llamados también sólidos platónicos. Esta creencia fue más tarde considerada por él como un error y abandonada cuando dispuso de datos astronómicos más precisos.

• Observa la figura que muestra al mayor cubo capaz de ser contenido en una esfera de radio r. Cualquiera de las diagonales de este cubo de arista a, pasa por el centro de la esfera y su longitud es igual al diámetro de la esfera. Expresa la relación de igualdad entre las longitudes del diámetro y la diagonal. • Si el radio de la esfera mide 3.4641 cm, ¿cuánto mide la arista del cubo máximo? • ¿Cuántas veces más grande es el área de la esfera que el área del cubo? 1.57 veces.

33 Medio ambiente. Piensa y, luego, responde.

• ¿Qué entiendes tú por paisaje? • ¿Qué relaciones estableces entre paisaje y medio ambiente? • ¿Qué clase de paisaje te llama más la atención? • ¿Por qué debemos proteger nuestros paisajes?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 34 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Reconozco y clasifico diversos cuerpos geométricos. • Calculo áreas de poliedros y cuerpos redondos. • Identifico las proyecciones ortogonales de un cuerpo. • Resuelvo problemas relativos a áreas de cuerpos. 35 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Cuáles de los contenidos tratados en la unidad podrían serte más útiles? ¿Por qué? • ¿En cuáles situaciones cotidianas los aplicarías?

139

Cuerpos geométricos. Volumen

Punto de partida La profesora de Ciencias Sociales muestra a los estudiantes cartelones con imágenes de distintas clases de vivienda típicas de cada uno de los continentes. Destaca que la arquitectura vernácula de los diferentes pueblos presenta formas geométricas, colores, maneras de decorar y materiales de construcción ajustados a sus entornos naturales y socioculturales.

Conceptos y procedimientos El cubo, el paralelepípe-

do y la pirámide. Prismas y pirámides

regulares. Cuerpos redondos. Simetrías de los cuer-

pos geométricos.

Al término de la exposición de la profesora, Alfredo levantó la mano para destacar el carácter amigable de la arquitectura vernácula, su adaptabilidad al ambiente y su apoyo en herencias comunitarias.

Valorar críticamente

¿Cómo están relacionadas las vi-

de las diversas comunidades humanas.

Actitudes y valores nuestro entorno. Apreciar la creatividad

viendas con el entorno físico en los que se construyen? ¿Y con las tradiciones y las creen-

cias comunitarias? ¿Qué consideraciones te merecen

las afirmaciones que hace Alfredo? RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS Observa estas viviendas de la Edad Media temprana y, lue-

go, responde. ¿Qué clase de cuerpo geométrico

se muestra en el grabado? ¿Qué poliedros puedes identificar

en estas edificaciones? ¿Cuántas caras, vértices y aristas tie-

ne una cualquiera de estas viviendas?

140

OBSERVACIÓN ¿En cuáles lugares has visto edificaciones iguales o parecidas

a las que se muestran en las ilustraciones? ¿De qué clase de materiales han sido construidas estas

edificaciones? ¿Qué relaciones descubres entre la forma de las edificaciones

y las características de su medio ambiente natural? ¿Por qué este tipo de edificación es calificado como amigable

con su entorno natural?

141

EL CUBO, EL PARALELEPÍPEDO Y LA PIRÁMIDE

1 Volumen de un cuerpo

RECUPERACIÓN Responde. • ¿Cómo son las unidades utilizadas para medir el volumen de un cuerpo? • ¿Cómo defines un centímetro cúbico?

El volumen, V, es una medida de la cantidad de espacio ocupado por un cuerpo. El procedimiento para medir el volumen de un cuerpo consiste en contar el número N de partes iguales o unidades en que pudiera ser descompuesto dicho cuerpo. 2 Volumen de un cubo

El cubo de la figura siguiente puede ser descompuesto en N = 8 partes iguales. El volumen de un cubo de arista a se obtiene con: V = a3.

N = 8 unidades. a=2

EJEMPLOS RESUELTOS:

a=2 a=2

¿Cuál es el volumen de un cubo

cuya arista mide 5 cm? Aquí, a = 5 cm: V = a3 = (5 cm)3 = 125 cm3.

3 Volumen de un paralelepípedo El volumen de un paralelepípedo se obtiene multiplicando el área de su base o área basal, Ab, por su altura, h: V = Ab x h.

Determinar el volumen del para-

lelepípedo siguiente, si su base es un rectángulo.

Paralelepípedo

h Ab

h = 3 cm a = 5 cm

b = 4 cm

Aquí, a = 5 cm, b = 4 cm y h = 3 cm: Ab = a x b = 5 cm x 4 cm = 20 cm2. Entonces: V = Ab x h = 20 cm2 x 3 cm = 60 cm3.

142

Si las aristas de un paralelepípedo que convergen en un vértice forman tres ángulos rectos, el paralelepípedo es un ortoedro. c

Ortoedro a

El volumen de un ortoedro se determina con: V = a x b x c. Un cubo es un caso particular de ortoedro en el que las tres aristas que convergen en uno cualquiera de sus vértices tiene longitud a.

Calcula los volúmenes del cubo, el paralelepípedo y la pirámide.

4 Volumen de una pirámide

MÁS INFORMACIÓN

El volumen de una pirámide es una tercera parte del producto de la multiplicación de su área basal, Ab, por su altura, h:

Paralelepípedos y prismas h

Un paralelepípedo es un caso particular de prisma, con seis caras y cuya base es un paralelogramo.

V = (Ab x h) ÷ 3.

EJEMPLO RESUELTO: Determinar el volumen de una pirámide cuya base es un

cuadrado de lado l = 15 cm y de altura h = 18 cm. El área basal de la pirámide es: Ab = l2 = (15 cm)2 = 225 cm2. El volumen buscado es: V = (Ab x h) ÷ 3 = (225 cm)2 x 18 cm) ÷ 3 = 1 350 cm)3. 5 Relación entre los volúmenes de un prisma

y de una pirámide de igual base e igual altura Observa el prisma y la pirámide, ambos de igual área basal, Ab, e igual altura, h. El volumen de un prisma es tres veces el volumen de una pirámide.

h Ab

Techo a cuatro aguas. Las pirámides son muy utilizadas por arquitectos y diseñadores.

ACTIVIDADES 1 Calcula el volumen de cada uno de los poliedros siguientes.

2 cm

2.5 cm

16 m 6 cm

10 cm 18 cm

3m 6.4 cm

8m 5m

2 Escribe, en tu cuaderno, las dimensiones de tres ortoedros de

volúmenes iguales al del cubo de la figura. NOTA: Las dimensiones son largo x ancho x alto.

4m 4m

l = 6 cm

143

PRISMAS Y PIRÁMIDES REGULARES

RECUPERACIÓN

1 Volumen de un prisma

Responde. • ¿Cuál es el área basal de una pirámide regular con una base pentagonal como la siguiente?

El volumen de un prisma se obtiene, generalmente, multiplicando su área basal, Ab, por su altura, h: V = Ab x h.

h 18 cm Ab

La expresión anterior es válida para prismas rectos y oblicuos. 15.31 cm

Si las bases del prisma de altura h son polígonos regulares de n lados de longitud l y de apotema a, entonces su volumen se obtiene utilizando la expresión: V = (n x l x a x h) ÷ 2. Puesto que n x l es el perímetro, Pn, de un polígono regular de n lados, entonces el volumen del prisma se puede escribir en términos de este perímetro: V = (Pn x a x h) ÷ 2. EJEMPLO RESUELTO:

12 cm

10.39 cm

Determinar el volumen del pris-

ma recto de la derecha cuya base es un hexágono regular.

18 cm

V = (n x l x a x h) ÷ 2 = (6 x 12 cm x 10.39 cm x 18 cm) ÷ 2 = 6 732.72 cm3. MÁS INFORMACIÓN 2 Volumen de una pirámide de base regular

Prismas y pirámides regulares Un prisma y una pirámide rectos y cuyas bases sean polígonos regulares, se denominan prisma regular y pirámide regular. Las caras laterales de un prisma regular son rectángulos congruentes. Las caras laterales de una pirámide regular son todos triángulos isósceles congruentes.

144

Si la base de una pirámide de altura h es un polígono regular de n lados, su volumen se calcula con la expresión: V = (Pn x a x h) ÷ 6.

EJEMPLO RESUELTO: Determinar el volumen de la

pirámide de la derecha cuya base es un pentágono regular. V = (n x l x a x h) ÷ 6

6.88 cm

25 cm

10 cm

= (5 x 10 cm x 6.88 cm x 25 cm) ÷ 6= 1 433.33 cm3.

Calcula los volúmenes de prismas y pirámides regulares.

3 Volumen de cuerpos compuestos Figura 1

Un cuerpo compuesto está formado por poliedros distintos y su volumen es la suma de los volúmenes de los poliedros que lo componen. En el caso de cuerpos con entrantes o agujeros, los volúmenes de estos se restan al volumen del cuerpo completo.

4 cm

C 6 cm 6 cm

6 cm B

EJEMPLOS RESUELTOS: ¿Qué volumen tiene el cuerpo compuesto de la figura 1?

El volumen, V, del cuerpo de la figura 1 es la suma de los volúmenes de los cuerpos A, B y C.

10 cm 6 cm

15 cm

V(A) = 15 cm x 6 cm x 10 cm = 900 cm3. Figura 2

V(B) = (6 cm)3 = 216 cm3. V(C) = [(6 cm)2 x 4 cm] ÷ 3 = 48 cm3.

2 cm

V = V(A) + V(B) V(C) = 1 164 cm3. Determinar el volumen del cuerpo de la figura 2.

El volumen, V, del cuerpo de la figura 2 se obtiene restando del volumen del cubo los volúmenes de las seis pirámides faltantes, que constituyen los entrantes:

10 cm

V = Vcubo – 6 x Vpirámide. Vcubo = (10 cm)3 = 1 000 cm3. Vpirámide = (10 cm)2 x 2 cm ÷ 3 = 66.67 cm3. 10 cm

V = Vcubo – 6 x Vpirámide = 600 cm3. 10 cm

ACTIVIDADES 3 Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico.

10 cm 18 cm

4.36 dm

8”

6 cm

6 dm

5” 2.17 cm

15 cm

4” 6”

10.48 dm 12 dm

6.5 cm 4 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

12 dm

15 dm

• A la derecha se muestra la réplica que hizo un arquitecto de una vivienda bárbara, como la que se muestra en la esquina superior derecha de la página 141. ¿Cuál es el volumen de la réplica?

145

CUERPOS REDONDOS

1 Volumen del cilindro

RECUPERACIÓN Piensa y, luego, responde. • El prisma y el cilindro tienen iguales sus anchos y sus alturas. ¿Son iguales sus volúmenes? ¿Por qué?

El volumen de un cilindro se calcula multiplicando su área basal, Ab, por su altura, h: V = Ab x h.

La expresión anterior es válida para cilindros rectos y oblicuos.

1m 1m

Si el radio de las bases del cilindro es r y su altura h, entonces su volumen se obtiene con la expresión: V = π x r2 x h. EJEMPLO RESUELTO: Un cilindro recto tiene un radio de 5 dm y una altura

igual al doble de su radio. ¿Cuál es el volumen del cilindro? V = π x r2 x h = π x ( 5 dm)2 x 2 5 dm = π x 5 cm2 x 2 5 dm = 3.14 x 5 dm2 x 4.47 dm = 70.18 dm3. 2 Volumen del cono

MÁS INFORMACIÓN

El volumen de un cono es un tercio del producto de su área basal, Ab, por su altura, h: V = (Ab x h) ÷ 3.

Principio de Cavalieri Si dos o más sólidos tienen la misma altura, y las distintas secciones que determina un plano paralelo a sus bases tienen la misma área, dichos sólidos tienen el mismo volumen. A

h r

La expresión anterior es válida para conos rectos y oblicuos. Si el radio de la base del cono es r y su altura h, entonces su volumen se obtiene con la expresión: V = (π x r2 x h) ÷ 3. EJEMPLO RESUELTO:

Un cono oblicuo tiene un radio basal de 12.8 cm. ¿Cuál

es su volumen, si su altura es de 15 cm? V = (π x r2 x h) ÷ 3 = π x (12.8 cm)2 x 15 cm VA = VB

146

= 3.14 x 163.84 cm2 x 15 cm = 7 716.864 cm3.

Calcula volúmenes de cuerpos redondos.

3 Volumen de la esfera

INTELIGENCIA COLABORATIVA

El volumen de una esfera de radio r se obtiene con la expresión: V = (4 x π x r3) ÷ 3.

Relaciones de volumen de cuerpos

EJEMPLO RESUELTO:

Observen la figura siguiente y descubran un modo de probar que ambos conos ocupan la mitad del volumen de la esfera que los contiene. Una vez finalizada la actividad, socialicen sus resultados.

Calcular el volumen de una esfera de área 200.96 cm2.

A partir del área, A, de la esfera, se determina su radio: 4 x π x r2 = 200.96 cm2

4 x 3.14 x r2 = 200.96 cm2.

12.56 x r2 = 200.96 cm2

r2 = 200.96 cm2 ÷ 12.56 = 16 cm2.

Puesto que r2 = 16 cm2, entonces: r = 4 cm. El volumen de la esfera es: V = (4 x π x 43) ÷ 3 = 267.947 cm3. 4 Volumen de cuerpos compuestos

EJEMPLO RESUELTO: Obtener el volumen, V, de un cuerpo compuesto por una

semiesfera y un cono de radio basal y altura iguales al radio de la semiesfera. Puesto que r = 6 cm: Vsemiesfera = (4 x π x

r3)

6 cm

÷ 6 = (4 x π x 63) ÷ 6 = 452.16

cm3.

Vcono = (π x r2 x r) ÷ 3 = (π x 62 x 6) ÷ 3 = 226.08 cm3. V = Vsemiesfera + Vcono = 678.24 cm3.

ACTIVIDADES 5 Obtén el volumen de los cuerpos siguientes

10 dm

r = 5”

10 cm

8 dm

41 cm

10”

15 cm

9 cm 10”

10”

6 Resuelve el problema.

10 cm

• Una fábrica de salsa de tomate usa latas cilíndricas de 10 cm de altura y 8 cm de diámetro. Si caben exactamente 3 filas de 3 latas en una caja, ¿qué porcentaje del volumen de la caja queda vacío?

24 cm 24 cm

147

SIMETRÍA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

1 Plano de simetría

RECUPERACIÓN Haz lo que se te pide. • Identifica y, luego, encierra las figuras simétricas.

El plano que divide a un cuerpo en dos partes iguales se denomina plano de simetría de dicho cuerpo.

El plano, P, es un plano de simetría del cuerpo C. Lo divide en dos partes iguales en dirección derecha-izquierda. El cuerpo de la figura de la izquierda tiene otros dos planos de simetría, uno que lo divide en dos partes iguales, en dirección arriba-abajo y otro, en otras dos partes iguales en dirección delante-detrás. Fíjate en los ejemplos siguientes. EJEMPLOS: C

El cubo tiene 9 planos de simetría: 3 que pasan por el

punto medio de las aristas y son paralelos a dos caras opuestas y 6 que contienen a las diagonales de sus caras. 1

7 8

P Una pirámide regular de base cuadrada tiene 4 planos

de simetría: 2 que pasan por los puntos medios de las aristas de su base y 2 que pasan por las diagonales de su base. 4 1

3 2

Un cilindro tiene un plano horizontal de simetría e

infinitos de planos de simetría que contienen a sus radios y su altura.

Estructura microscópica de la sal común. Los cristales de sal tienen 9 planos de simetría.

148

Identifica planos y ejes de simetría de cuerpos geométricos.

2 Ejes de simetría Ejes de simetría del cubo

Un eje de simetría es una línea recta tal que, al hacer girar un cuerpo geométrico alrededor de ella dicho cuerpo coincide consigo mismo.

En la figura siguiente, la recta L es un eje de simetría de la pirámide regular de base triangular. Fíjate que, tras el giro, el vértice A se coloca en la posición en que originalmente estaba B; el vértice B, en la posición en que se hallaba C y el vértice C, en la posición original de A, pero el cuerpo no modifica ni su forma, ni su posición. D

3 4

El cubo tiene los siguientes ejes de simetría: 5

3 ejes que van del centro de una cara al centro de su

opuesta. 4 ejes que van de un vértice a su opuesto. 6 ejes que van del punto medio de una arista al de la

opuesta.

ACTIVIDADES 7 Dibuja, en tu cuaderno, tres planos y dos ejes de simetría de los cuerpos geométricos siguientes.

8 Piensa y, luego, responde.

• Si N es el número de lados del polígono de la base de un prisma regular, ¿el número de sus planos de simetría es N + 1? Justifica tu respuesta.

149

ACTIVIDADES

9 Rodea los cuerpos geométricos que tienen el

mismo volumen.

16 cm2

6 cm

3 cm

3 cm 16

cm2

13 Resuelve el problema.

Un cilindro de radio 15 cm y altura 20 cm está lleno de agua por completo. ¿Cuántos litros de agua no se derraman, si se introduce en el recipiente un cono de igual altura y radio? 14 Calcula el volumen del tubo usando el principio

4 cm

6 cm

de Cavalieri.

12 cm

24 cm2 10 Obtén el volumen de los siguientes cuerpos

25 cm

geométricos. 4.33 cm

5 cm

12” 18 cm

15 Observa y, luego, responde la pregunta.

12.5” 10”

15 cm

h 12 m

15 cm 4 cm

17.32 dm

4 cm 6 cm

¿Cuál debe ser la altura del cono para que su volumen sea igual al de la esfera? 16 Calcula el volumen del zafacón.

11 Calcula con cuántos kilolitros de agua se llena

una piscina con la forma y tamaño siguientes. 20 m 1m 7.5 dm 4m

5m 3 dm

12 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos

redondos.

go, haz lo que se te pide. 1 cm

Responde. ¿Cuántos planos de simetría tiene? 10”

15 cm

30” 10 cm 20”

150

17 Imagina una pirámide regular pentagonal y, lue-

Dibújala en tu cuaderno y traza todos sus planos de simetría. Analiza: Si una pirámide recta tiene por base un polígono regular de N lados, ¿cuántos planos de simetría tiene?

Competencias fundamentales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 18 Analiza y resuelve el problema. Luego, com-

parte tu manera de resolverlo con tus compañeros de curso. L 4m

1.2 m

En una finca se quiere construir un bebedero para ganado vacuno como el de la figura anterior. ¿Cuál deberá ser la longitud de L para que el bebedero tenga un volumen de 24 m3?

21 Piensa y pon en ejecución un plan para resol-

ver el siguiente problema. Dos prismas regulares de igual altura, uno hexagonal y el otro pentagonal, tienen el mismo volumen. ¿Cuál es la razón l1 /l2? NOTA: Las longitudes de las apotemas, a, se relacionan con las longitudes de las aristas basales, l, mediante las expresiones dadas abajo. a1 = 0.866 l1

l1 a1

19 Observa las figuras y descubre mediante qué

ángulo de rotación alrededor de un eje vertical, los vértices de la pirámide cambian de posición como se indica. D

Base

a2 = 0.688 l2

l2 a2 22 Resuelve el problema.

30º 30º

A C

C B

20 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

Una empresa fabricante de latas las construye con hojas rectangulares de base L y de altura h. La empresa busca hacer una lata con el mayor volumen, ¿cómo se deberían enrollar las hojas rectangulares para conseguir un volumen mayor, a lo largo de L o de h? h

En unas tablillas de piedra, un equipo de arqueólogos se encontró con el extraño modo de calcular el volumen de una esfera empleado por unos antiguos habitantes de Polinesia. Para este pueblo, el volumen de la esfera se obtiene con: V = (A ÷ 3) x r. Averigua si este modo de calcular el volumen de la esfera es correcto, tomado en cuenta que el área y el volumen de una esfera de radio r se consiguen, respectivamente, con A = 4 x p x r2 y V = (4 x p x r3) ÷ 3. Muestra en el curso el procedimiento que empleaste para tu investigación.

L Lata A h Lata B

h Comprueba tu conclusión, dando valores a L y h, con L > h.

151

EVALUACIÓN Comunica

Modela y representa

23 Escribe, en tu cuaderno, cómo se relacionan

28 Obtén el volumen de los siguientes cuerpos.

porcentualmente los volúmenes del prisma y del cono de la figura.

1 cm

60º

10”

r 25” 12 cm 29 Resuelve el problema.

• Un cilindro de radio r = 12. 32 cm está rodeado por otro cilindro hueco de radio R = 12.38 cm, que rodea al primero. Los cilindros tienen una longitud de 120 cm. ¿Cuántos litros de aceite caben en el espacio vacío entre los cilindros?

Vcono = p . Vprisma 4

Razona y argumenta

24 Piensa con detenimiento antes de responder

las preguntas. • Un prisma regular de base cuadrada tiene el doble de la altura que otro. ¿Cómo es el volumen del primero respecto al volumen del segundo? • Un cilindro tiene el doble del radio que otro. ¿Cómo es el volumen del primero respecto al volumen del segundo? • Un cilindro tiene el doble del radio y la cuarta parte de la altura que otro cilindro. ¿Cómo son su volúmenes?

r R

Conecta 30 Resuelve el problema.

• El módulo de mando de una nave espacial tiene la forma y las dimensiones de la figura siguiente. ¿Cuál es su volumen? 1.5 m

25 Calcula mentalmente.

• ¿Cuántas bolas de 10 cm de diámetro caben en una caja cúbica cuyas aristas miden 1m?

6.5 m

0.56 m 3m

26 Obtén la longitud de la diagonal de un cubo con

un volumen de 125 cm3.

27 Obtén el volumen de los cuerpos siguientes.

• ¿El módulo tiene planos de simetría horizontales? 8.26 cm

20”

24 cm

Resolución de problemas

20” 31 Construye un problema acerca del volumen de

12 cm

152

22” 12”

un cuerpo que se resuelva mediante las operaciones: 64 m2 x 6 m – 2 m x 2 m x 2 m.

Medición de logros

32 Debate. Lean el texto y, luego, organizados en grupos,

confronten las estrategias de resolución empleadas. Un fabricante de quesos frescos dispone de envases plásticos cilíndricos de diámetro y altura de 12 cm para empacar sus quesos y quiere utilizar la menor cantidad de suero para conservarlos frescos. Los quesos podrán tener forma de esfera o de prisma recto de base cuadrada. ¿Cuál deberá ser la forma de los quesos más conveniente para que, ocupando el mayor volumen posible del envase, el fabricante ahorre en la cantidad de suero? A la derecha se muestran las formas y dimensiones presentes en el problema.

8.485 cm

• ¿Consideran que el resultado pudo haberse previsto observando las figuras? 12 cm

12 cm

• ¿Por qué respondieron del modo en que lo hicieron? • ¿Para qué polígono como base del prisma se hubiera necesitado mayor cantidad de suero?

12 cm

33 Piensa y, luego, responde.

• ¿Cómo cambian las formas de las viviendas atendiendo a las características climáticas? • ¿Qué formas geométricas y materiales de construcción son más frecuentes en la vivienda tradicional dominicana? • ¿Qué otras características de nuestras viviendas destacarías?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 34 Marca según tus logros

Iniciado

En proceso

Logrado

• Calculo volúmenes de poliedros y cuerpos redondos. • Descubro relaciones entre volúmenes de diversos cuerpos. • Resuelvo problemas de volúmenes en contextos reales. 35 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

(Video) trochu lechtivé vtipy

• ¿Cuáles de los temas tratados te parecieron más interesantes? ¿Por qué? • ¿Consideras que necesitas reforzar algunos de los temas trabajados en la unidad? ¿Cuáles?

153

Recolección y análisis de datos

Punto de partida El desorden del tránsito vehicular es un problema asociado con el crecimiento poblacional y el desarrollo de grandes ciudades. Los tapones frecuentes y el caos en el desplazamiento de las distintas unidades del transporte son situaciones que impactan de manera negativa en ámbitos de la vida que van desde la economía hasta la salud de los ciudadanos. Un estudio del año 2016 determinó que el costo anual de los tapones y el caos vehicular ronda los 48 mil millones de pesos. Si a esto se agregan los problemas de contaminación, puede afirmarse que el ordenamiento del tránsito vehicular debe ser enfrentado con urgencia. ¿Qué inconvenientes ocasiona a la

ciudadanía el desorden del tránsito? ¿Qué medidas, a tu juicio, podrían

ser útiles y viables para enfrentar la problemática?

Conceptos y procedimientos Población y muestra. Gráficas de barras

y poligonales. Agrupación de datos. Gráfica circular. Valores medios. Valores medios de datos

agrupados. Análisis y organización

de datos. Actitudes y valores Valorar las normas

de convivencia social. Apreciar la cortesía

y la solidaridad.

¿Qué ayuda ofrecen los estudios es-

tadísticos sobre el tránsito vehicular?

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS Observa la representación gráfica y, luego, responde. Millones de unidades

3.05

2.40

3.61

2.94

3.40

2.80

2010

2011

2012

2013

2014

2015

4 3 2 1 0

¿Qué tipo de gráfica se muestra arriba? ¿Cómo interpretas la gráfica?

154

Año

OBSERVACIÓN ¿Qué muestran las imágenes que se presentan

en esta doble página? ¿Cuáles son las horas del día en que se produ-

cen los mayores entaponamientos del tránsito? ¿Por qué ocurren regularmente a esas horas? ¿Cómo impactan el desorden y el entapona-

miento del tránsito en la salud de las personas y en la calidad del medio ambiente?

155

POBLACIÓN Y MUESTRA

1 Población y muestra

RECUPERACIÓN Responde la pregunta. • ¿Qué importancia social y económica tiene la estadística, como conjunto de técnicas de recolección y organización de datos?

Imagina que un organismo para la regulación del tránsito está interesado en diseñar un conjunto de medidas para agilizar la circulación de los vehículos en las llamadas horas pico, que son las de mayor flujo vehicular. Para realizar su estudio, el organismo prepara un formulario de preguntas o encuesta acerca de las horas de salida y de regreso a sus casas de los conductores y usuarios del transporte. Con las informaciones o datos obtenidos mediante la encuesta, el organismo puede dar inicio a una investigación estadística del tránsito. En toda investigación estadística están presentes los elementos siguientes: Una población, que es un conjunto de personas o cosas

formado por todos los elementos que interesan al estudio. Una muestra, que es una parte de la población que se

estudia y que se toma como referencia para inferir características de la población. Cada uno de los elementos que forman parte de la pobla-

ción o de la muestra es un individuo o componente de ambos conjuntos. La totalidad del número de individuos o componentes de

una muestra nos proporciona el tamaño de la misma. 2 Variables estadísticas

Variables cuantitativas Pueden ser:

Una variable estadística es cualquier característica distintiva de una población de interés para una investigación estadística. Ninguna indagación estadística puede iniciarse sin que se identifiquen sus variables. Las variables estadísticas se clasifican en: Cuantitativas, cuando admiten un valor numérico. La

Discretas

Continuas

Solo toman enteros.

Toman valores no enteros.

Ejemplos:

1, 3, 4, …

0.5, 0.8, 1.2, …

156

cantidad semanal de visitantes a los museos y el número de vehículos que transitan diariamente por determinadas avenidas son variables cuantitativas. Cualitativas, cuando expresan una cualidad del objeto de

estudio. Las preferencias del público consumidor por determinados productos de limpieza y el estado civil de los empleados de una empresa son variables cualitativas.

Reconoce los conceptos básicos de la estadística.

3 Frecuencia de un dato estadístico

MÁS INFORMACIÓN

La estadística maneja dos clases de frecuencia:

Frecuencia acumulada

La frecuencia absoluta de un dato, f, es el número de veces

La frecuencia acumulada de un dato, F, es la suma de la frecuencia de ese dato y las de todos los datos que le preceden en la tabla.

que aparece dicho dato en una determinada muestra. La frecuencia relativa, fr, de un dato es igual a su frecuen-

cia absoluta dividida por el número total de datos de la muestra, N (frecuencia total).

Ejemplo:

4 Tabla de frecuencias

Datos

Total

En una tabla de frecuencias se escriben los datos de una muestra en una columna y a su lado, en otra columna, sus frecuencias correspondientes. Una tabla de frecuencias presenta cómo se reparten o distribuyen los distintos valores de la variable en la muestra. EJEMPLO:

En la tabla se ve que:

La siguiente es la tabla de frecuencias absolutas y re-

F(A) = 5.

lativas del ejemplo del dado. Resultados

Frecuencia absoluta, f

Frecuencia relativa, fr

0.2

0.3

0.2

0.1

Totales:

F(B) = 8 + 5 = 13. F(C) = 2 + 8 + 5 = 15. F(D) = 9 + 2 + 8 + 5 = 24. La frecuencia acumulada del último dato de la tabla es la frecuencia total, N = 24.

ACTIVIDADES 1 Lanza 20 veces un dado y, luego, llena la tabla de frecuencias.

Resultados

Frecuencias absolutas 2 Comprueba que la suma de las frecuencias relativas es la unidad.

157

GRÁFICAS DE BARRAS Y POLIGONALES

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. • ¿Qué son los ejes cartesianos?

1 Gráfica de barras Cuando las variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas discretas, los datos de una muestra pueden ser representados mediante una gráfica de barras.

• ¿Has utilizado en alguna ocasión ejes cartesianos?

Una gráfica de barras se construye con:

• ¿En qué los has utilizado?

Dos ejes cartesianos, en uno de los cuales, el horizontal,

se colocan los valores de la variable y en el otro, el vertical, se colocan las frecuencias. Barras verticales que se levantan sobre los valores de la

variable, que se hallan en el eje horizontal, y cuyas alturas proporcionan la frecuencia de cada uno de los datos. EJEMPLO RESUELTO: Construir la gráfica de barras que corresponde a los

datos de la tabla, que muestra el número de vehículos (en millares) que cruzó la intersección de dos avenidas del centro de la ciudad de Santiago de los Caballeros de lunes a viernes hace una semana. Días

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Millares de vehículos

La variable tiempo (días de la semana) se coloca en el eje horizontal y el número de vehículos (frecuencia), en el eje vertical. Frecuencias 90 80 70 60 50 40 30 20 10

85 75

70 50

Días

En el eje vertical de una gráfica de barras pueden ser colocadas frecuencias relativas o porcentajes en vez de frecuencias absolutas.

158

Construye diferentes clases de gráficas estadísticas.

3 Gráfica poligonal Para representar datos cualitativos o cuantitativos discretos, también se emplea una gráfica poligonal, que es el resultado de unir mediante segmentos los puntos del plano cartesiano (Xi, fi), siendo Xi un valor de la variable estadística y fi, su frecuencia.

EJEMPLO RESUELTO: Construir la gráfica poligonal correspondiente a la

siguiente tabla de los accidentes de tránsito ocurridos en el primer semestre del año 2014. Meses

Enero Febrero

Número de accidentes

152

130

Marzo

Abril

Mayo

Junio

140

119

126

103

Los meses del año se colocan en el eje horizontal y las frecuencias en el eje vertical. Frecuencias 250 200 150

152 130

140

Feb

Mar

100

119

126

Abr

May

103

50 En

Jun

Mes

La gráfica resulta de unir los puntos (En, 152), (Feb, 130), etc., mediante segmentos. ACTIVIDADES 3 Lee y, luego, haz lo que se te indica en cada caso.

• Construye la gráfica de barras del número de horas al día que dedica a la lectura un grupo de 20 estudiantes. 1, 1.5, 1, 2, 0.75, 1, 1.5, 2, 1, 1, 1.5, 2, 2.5, 1.5, 2, 1.5, 1, 0.75, 2, 2. • Construye la gráfica poligonal de las edades de un grupo de 25 estudiantes. 12, 12, 12, 11, 12, 13, 11, 12, 13, 13, 11, 12, 12, 12, 11, 13, 13, 13, 14, 11, 11, 12,13, 11, 14.

159

AGRUPACIÓN DE DATOS

1 Agrupación de datos

RECUPERACIÓN Completa la tabla, sabiendo que la frecuencia de C es el doble de la frecuencia de A. Datos

Frecuencia

.…

Total

Para trabajar con datos muestrales numerosos, estos puesden agruparse de forma práctica en grupos o clases.

Para agrupar datos, primero, se obtiene la diferencia entre los valores mayor, X, y menor, x, de la muestra; luego, esta diferencia, X – x, se divide por el número de grupos, N, que se quiera formar, para obtener la amplitud, L, del grupo y, finalmente, con la amplitud, L, se forman los distintos grupos. EJEMPLO RESUELTO: Sobre cada provincia se muestra su cantidad de ve-

hículos en forma de porcentaje del parque vehicular total del país. Agrupar estos datos porcentuales en N = 4 grupos.

El mayor de los datos es X = 26.19 y el menor, x = 0.12, entonces la amplitud L es: (26.19 – 0.12) ÷ 4 ≈ 6.52. Los grupos se forman como sigue: [0.12, 0.12 + 6.52[ = [0.12, 6.64[

(Grupo 1)

[6.64, 6.64 + 6.52[ = [6.64, 13.16[

(Grupo 2)

[13.16, 13.16 + 6.52[ = [13.16, 19.68[

(Grupo 3)

[19.68, 19.68 + 6.52[ = [6.64, 26.20

(Grupo 4)

La frecuencia de un grupo es el número de datos que contiene: f (1) = 29 ; f (2) = 1 ; f (3) = 1 ; f (4) = 1.

160

Agrupa datos estadísticos en clases.

2 Tabla de frecuencias de datos agrupados

El grupo [0.12, 6.64[ del ejemplo anterior incluye 29 datos de la muestra y los demás grupos solo incluyen un dato cada uno. La tabla de datos agrupados es la siguiente: Grupo [0.12, 6.64[ [6.64, 13.16[ [13.16, 19.68[ [19.68, 26.20] Total

Frecuencia 29 1 1 1 32

3 Gráfica de datos agrupados: histograma El histograma es una gráfica de datos agrupados.

En un histograma los grupos se colocan en el eje horizontal y, sobre ellos, se construye un rectángulo de altura igual a la frecuencia de cada uno. Fíjate en el ejemplo. Frecuencias 29

Si un grupo no incluye a ninguno de los datos de la muestra, su frecuencia es cero.

25 20 15 10 5

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4

Grupos

ACTIVIDADES 4 Une el dato muestral y el grupo al que pertenece.

Datos Grupos

0.76

4.80

78.2

8.00

[4.08, 5.2[

[14, 16.8]

[5.7, 8.00]

[65, 78.2[

[0.75, 2.42[

5 Haz lo que se te pide.

• Reúne en 6 grupos los datos muestrales del ejemplo de la página 160 y, luego, construye el histograma correspondiente. Comenta en el grupo lo que has observado.

161

GRÁFICA CIRCULAR

1 Gráfica circular

RECUPERACIÓN Construye los ángulos con las medidas siguientes usando un transportador. 12º

30º

50º

75º

110º

178º

• ¿Puedes construir ángulos que midan más de 180º? • ¿Qué harías para construirlos? Construye los ángulos con las medidas siguientes usando un transportador. 185º

200º

225º

Una gráfica circular, de sectores o de pastel se utilizan para representar datos expresados en forma de porcentajes. Estas gráficas son muy frecuentes en periódicos, revistas y publicaciones especializadas.

Para construir una gráfica circular, se multiplican las frecuencias relativas de cada dato por 360º. El resultado es un ángulo central que representa a la frecuencia del dato. A mayor frecuencia de un dato, mayor es el ángulo central que le corresponde en la gráfica circular. La frecuencia total está representada por el círculo completo, 360º. EJEMPLO RESUELTO: En el 2015 el parque vehicular del país era de 3 612 964

vehículos y estaba distribuido de la manera siguiente: 54% de motores; 11% de carga; 24% de carros y autobuses; 10% de jeeps y 1% de otros. Construir la gráfica circular correspondiente a los datos anteriores. Los ángulos de cada sector circular se obtienen: 54% de 360º = 0.54 x 360º = 194.4º ≈ 194º. 11% de 360º = 0.11 x 360º = 39.6º ≈ 40º. 24% de 360º = 0.24 x 360º = 86.4º ≈ 86º. 10% de 360º = 0.10 x 360º = 36º. 1% de 360º = 0.01 x 360º = 3.6º ≈ 4º. La gráfica circular correspondiente a los datos del ejemplo es la siguiente:

194% Motores 4% Otros 36% Jeeps 86% Carros 40% Carga

y autobuses

Observa que: 194º + 40º + 86º + 36º + 4º = 360º.

162

Construye diferentes clases de gráficas estadísticas.

3 Diagrama de tallos y hojas

Otra forma de organizar los datos de una muestra es mediante los diagramas de tallos y hojas, que tienen la ventaja de mostrar los datos numéricos y, al propio tiempo, su distribución de frecuencias y una representación gráfica. EJEMPLO RESUELTO: Construir el diagrama de tallos y hojas de las siguien-

te edades de 30 personas: 12, 18, 26, 19, 32, 33, 9, 19, 27, 23, 45, 48, 35, 27, 40, 7, 16, 29, 38, 45, 51, 46, 22, 31, 54, 63, 47, 22, 55, 68. Se toman las primeras cifras de la izquierda como los tallos. En los casos de las edades de 9 y 7 años, los tallos se toman como 0 y las cifras de la derecha como las hojas y se construye el siguiente diagrama: Tallos 0 1 2 3 4 5 6

Hojas 7 2 2 1 0 1 3

9 6 2 2 5 4 8

8 3 3 5 5

9 6 5 6

9 7 7 9 8 7 8

MÁS INFORMACIÓN Pirámides de población Están constituidas por dos histogramas organizados a ambos lados de una línea central. Representan los porcentajes de individuos de ambos sexos organizados en grupos de edad. Observa una pirámide de nuestra población del censo del año 2010. Grupo de 65-69 edades 60-64 55-59

2010

70-74

50-54 45-49 40-44

Hombres

Mujeres

35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4 12 10 8 6 4 2 0 2

4 6 8 10 12

Porcentajes

Desde el diagrama, se puede determinar la frecuencia de los datos con tallos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6: f(0) = 2; f(1) = 5; f(2) = 7; f(3) = 5; f(4) = 6; f(5) = 3; f(6) = 2. La suma de estas frecuencias es 30. ACTIVIDADES 6 Lee y, luego, construye la gráfica circular de los datos.

• Un estudio hecho por la empresa de investigación de mercado Nielsen IBOPE, sobre teleaudiencia en nuestro país de enero a agosto del año 2016, arrojó como resultado que un 57% de los usuarios de la televisión son mujeres y un 43%, hombres. 7 Construye el diagrama de tallos y hojas correspondiente a las estaturas

(en cm) de un grupo de 30 estudiantes. • 133, 132, 131, 140, 129, 133, 141, 143, 140, 133, 132, 133, 128, 140, 128, 131, 132, 141, 138, 137, 131, 142, 129, 130, 135, 141, 141, 130, 132, 141.

163

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. • ¿Qué significado tienen para ti las expresiones siguientes?

1 Medidas de tendencia central Los medidas de tendencia central o valores medios son valores en torno a los que se ubican los datos de una muestra.

• La temperatura promedio de una región es de 29 ºC.

Si imaginamos los datos de una muestra como una nube, los valores medios se ubican en el centro de dicha nube.

• La estatura promedio es de 1.75 metros.

Los valores medios de una muestra de datos son la media aritmética o promedio, la moda y la mediana.

• La edad promedio de ingreso a la universidad es de 17 años.

2 Media aritmética, x _ La media aritmética, x, de un conjunto datos, es el resultado de dividir su suma por el número de dichos datos, n.

Valores medios.

Si x1, x2, x3, … …, xn son los n datos de una muestra, su _ media aritmética, x, se calcula con: _ x = (x1 + x2 + x3 + … … + xn) ÷ n. EJEMPLO RESUELTO: Cuestionado un grupo de 8 personas acerca de cuán-

tas horas al día permanecen frente al televisor, respondió como sigue: 1.5, 2.0, 2.0, 2.0, 2.5, 2.0, 3.0, 2.5. Obtener la media aritmética de estos tiempos. _ x = (1.5 + 2.0 + 2.0 + 2.0 + 2.5 + 2.0 + 3.0 + 2.5) ÷ 8. _ x = 17.5 ÷ 8 = 2.19. El tiempo promedio es de 2.19 horas. Si un dato muestral x1 tiene frecuencia f1; un dato x2, frecuencia f2; etc., para ahorrar tiempo de cálculo de la media aritmética se usa la expresión: _ x = (f1 x x1 + f2 x x2 + f3 x x3 + … + fm x xm) ÷ n. La media aritmética expresada de la forma anterior se llama media ponderada y a las frecuencias f1, f2, f3, … …, fm. A estas frecuencias se les llama pesos de los datos x1, x2, x3, … …, xm, respectivamente. La media ponderada, conocidas las frecuencias relativas de los datos fr1, fr2, fr3, … …, frm, se calcula con: _ x = fr1 x x1 + fr2 x x2 + fr3 x x3 + … + frm x xm. 164

Calcula distintas medidas de tendencia central de una muestra de datos.

3 Moda, Mo El valor que tiene la mayor frecuencia en una muestra de datos es la moda de dicha muestra.

En el ejemplo de la página anterior, la moda del número de horas de teleaudiencia de la muestra de 8 personas es 2.0: 1.5 , 2.0 , 2.0 , 2.0 , 2.5 , 2.0 , 3.0 , 2.5. 4 Mediana, Me

La mediana de un conjunto de valores de una muestra es el valor ubicado en el centro de los datos ordenados de menor a mayor o viceversa, si el número de estos valores es impar, o es la media aritmética de los dos valores del centro, si el número de valores muestrales es par. EJEMPLOS RESUELTOS: Obtener la mediana de los datos: 2, 5, 3, 2, 4, 2, 3.

Primero, se organizan los datos muestrales de menor a mayor: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5.

Una muestra puede tener más de una moda o no tener moda.

Luego, como hay un número impar de datos en la muestra, n = 7, la mediana es 3, el valor del centro. Calcular la mediana de los datos del ejemplo de la pá-

gina anterior. Primero, se organizan los datos muestrales de menor a mayor: 1.5 , 2.0 , 2.0 , 2.0 , 2.0 , 2.5 , 2.5 , 3.0. Luego, como hay un número par de datos en la muestra, n = 10, la mediana es el promedio de los dos datos del centro: 1.5 , 2.0 , 2.0 , 2.0 , 2.0 , 2.5 , 2.5 , 3.0. La mediana es 2.0 = (2.0 + 2.0) ÷ 2. ACTIVIDADES 8 Determina las tres medidas de tendencia central para los siguientes conjuntos de datos muestrales.

• 2, 2, 5, 2, 3, 2, 6, 3, 2

• 1.0, 2.5, 3.0, 1.0, 1.0, 4.0, 3.5, 1.5, 4.0, 2.5

9 Obtén la media ponderada de

Dato, x Frecuencia, f

_ x, a partir de la tabla siguiente.

2.3

3.5

3.9

4.1

4.7

5.0

6.8

7.5

165

VALORES MEDIOS DE DATOS AGRUPADOS

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. • ¿Qué utilidad tiene la agrupación de datos? • ¿Se pierde alguna información de los datos de la muestra cuando estos se agrupan?

1 Media aritmética de datos agrupados

Es posible asignar a cada grupo o clase de datos un número único llamado marca de clase. Este número característico de cada grupo, X, es la media aritmética de los valores extremos, izquierdo y derecho, del grupo. La media aritmética de los datos agrupados se obtiene, primero, multiplicando las frecuencias, f, de cada grupo por sus marcas de clase respectivas, X; luego, sumando todos los productos, f x X, obtenidos y, finalmente, dividiendo la suma por la frecuencia total o número total de datos, N. Si se agregan dos columnas a la tabla de datos agrupados de la página 161, una para las marcas de clase, X, y otra para los productos, f x X, se consigue la tabla siguiente. TABLA DE DATOS AGRUPADOS Grupo

Frecuencia, f

fxX

[0.12, 6.64[

3.38

98.02

[6.64, 13.16[

9.90

[13.16, 19.68[

16.42

[19.68, 26.20]

22.94

147.28

Totales

La suma de los productos de la columna f x X es 147.28 y la frecuencia total es N = 32, entonces la media aritmética de los datos agrupados de la tabla es: _ x = 147.28 ÷ 32 = 4.6025 ≈ 4.60. Fíjate que como la gran mayoría de los datos muestrales está en el primer grupo, [0.12, 6.64[, la media aritmética está localizada en el primer grupo. Si se suman los datos porcentuales del mapa del ejemplo de la página 160 y el resultado se divide por el número total de datos, N = 32, el resultado es 3.12, que es la media aritmética conseguida sin agrupar los datos. La diferencia entre la media de los datos agrupados y la media de los datos sin agrupar se llama error de agrupamiento. Este error disminuye al aumentar el número de grupos. 166

Obtiene la media aritmética de datos agrupados.

2 Moda de datos agrupados

Si los datos están agrupados, el grupo de mayor frecuencia es el grupo modal y en este está la moda. EJEMPLO RESUELTO: Obtener la mediana a partir de la tabla siguiente.

TABLA DE DATOS AGRUPADOS

Grupo modal

Grupo

Frecuencia, f

fxX

[10, 14[

180

[14, 18[

320

[18, 22]

200

Totales

700

10 5 10

[14, 18[ es el grupo modal, su frecuencia es 320.

14 15.4

Grupo

La moda se obtiene como se muestra en el histograma de la derecha. Es la abscisa, Mo ≈ 15.4, del punto donde se cortan los segmentos que van de las esquinas superiores del grupo modal a las esquinas superiores de sus grupos contiguos. 3 Grupo o intervalo mediano

El grupo mediano es el de frecuencia acumulada, F, inmediatamente mayor que la mitad de la frecuencia total, 12 N. En el grupo mediano se encuentra la mediana. En el ejemplo anterior N = 45, entonces:

1 2

N ≈ 23.

El grupo cuya frecuencia acumulada es inmediatamente mayor que 23 es el [14, 18[, cuya frecuencia acumulada es 35. En la tabla, [14, 18[ es el grupo mediano.

Grupos

[10, 14[

[14, 18[

[18, 22]

ACTIVIDADES 10 Construye el histograma correspondiente a los datos de la tabla y, luego, obtén la media

aritmética y la moda. Grupos Frecuencia

[1.4, 1.5[

[1.5, 1.6[

[1.6, 1.7[

[1.7, 1.8[

[1.8, 1.9[

[1.9, 2.0]

11 Identifica el grupo mediano en la tabla anterior.

167

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

RECUPERACIÓN Responde la pregunta. • ¿En cuál de los conjuntos siguientes los datos aparecen más expandidos o distribuidos? A: 1, 6, 1, 2, 8, 1, 10. B: 1, 23, 1, 1, 3, 2, 30. C: 2, 2, 3, 3, 2, 4,3.

1 Medidas de dispersión Los medidas de dispersión miden el grado de expansión o alejamiento de los datos de una muestra.

Si imaginamos los datos de una muestra como una nube, las medidas de dispersión miden el ancho o amplitud de dicha nube. Algunas medidas de dispersión son el rango o recorrido, el rango medio y la desviación media.

D: 20, 20, 21, 25, 22, 21, 25.

2 Rango, R El rango de una muestra de datos es la diferencia entre el mayor valor de la muestra, X, y el menor valor de la misma, x.

De acuerdo a la definición anterior: R = X – x. Si un conjunto A de datos muestrales presenta un rango mayor que el de otro conjunto B, entonces, la dispersión de A es mayor que la dispersión de B. EJEMPLO RESUELTO: Obtener el rango de cada uno de los cuatro conjuntos

de datos muestrales de la izquierda. R(A) = X – x = 10 – 1 = 9.

R(B) = 30 – 1 = 29.

R(C) = 4 – 2 = 2.

R(D) = 25 – 20 = 5.

Está claro que el conjunto B tiene mayor rango, porque es el que tiene los datos más alejados uno de otro. 3 Rango medio, RM

Dispersión

El rango medio de una muestra de datos es la mitad de la suma del mayor valor de la muestra, X, y el menor valor de la misma, x. 1

De acuerdo a lo anterior: RM = 2 (X + x). EJEMPLO RESUELTO: Calcular el rango medio del conjunto de datos: 1, 1, 3,

2, 1, 1, 5. Aquí, X = 5 y x =1, entonces: 1

RM = 2 (X + x) = 2 (5 + 1) = 2 (6) = 3. 168

Calcula distintas medidas de dispersión de una muestra de datos.

4 Desviación media, DM

INTELIGENCIA COLABORATIVA

La desviación media de un conjunto de datos muestrales es el promedio de los valores absolutos de las diferencias .–. de los datos y su media aritmética, x

Si los datos de una muestra son muy cercanos a su media aritmética, la desviación media es pequeña. .– su meSi x , x , x , …, x son los n datos de la muestra y x 1

dia aritmética, la desviación media, DM, se calcula con la siguiente expresión: .–| + |x – x .–| + |x – x .–| + … … + |x – x .–| ) ÷ n. DM = (|x – x 1

Cálculo de una desviación media en el aula Reúnanse en grupos con un máximo de 6 integrantes y determinen la desviación media de las edades. Luego, comparen entre sí los resultados obtenidos por los distintos grupos.

EJEMPLO RESUELTO: Calcular la desviación media del siguiente conjunto de

datos muestrales: 2, 3, 12, 8, 5. _ Primero, se calcula la media aritmética de los datos, x: _ x = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) ÷ n = (2 + 3 + 12 + 8 + 5) ÷ 5. _ x = 30 ÷ 5 = 6.

Luego, se obtienen los valores absolutos de las diferencias entre los x1, x2, x3, … … xn y la media aritmé_ tica encontrada, x: _ _ |x1 – x| = |2 – 6| = | – 4| = 4. |x2 – x| = |3 – 6| = | – 3| = 3. _ _ |x4 – x| = |8 – 6| = | 2| = 2. |x3 – x| = |12 – 6| = | 6| = 6. _ |x5 – x| = |5 – 6| = | – 1| = 1. Finalmente, se calcula la desviación media, que es la media aritmética de las diferencias encontradas en el paso anterior: DM = (4 + 3 + 6 + 2 + 1) ÷ 5 = 16 ÷ 5 = 3.3. ACTIVIDADES 12 Obtén el rango y el rango medio de los siguientes conjuntos de datos.

1.5, 1.0, 0.2, 2.7, 1.8, 1.0, 3.2 , 0.6

10, 22, 10, 10, 15, 27, 27, 10, 16, 27, 9, 18

13 Lee y, luego, determina la desviación media de los datos muestrales.

• El análisis del nivel de azúcar en la sangre o glucemia a un grupo de 15 personas arrojó los resultados siguientes, en mg/dL: 72, 70, 68, 75, 81, 75, 87, 76, 93, 78, 95, 102, 77, 85, 77.

169

ACTIVIDADES

14 Marca con X la clase de variable estadística de

acuerdo a la clave. Cuantitativa:

18 Observa la gráfica poligonal y, luego, responde

las preguntas. .

Cualitativa:

El monto de los sueldos mínimos por país.

30 20

El número de calorías consumidas por la población.

Expectativas de cambio en un sector social.

circular.

El índice de inflación de un conjunto de países.

Datos

15 Completa la tabla de frecuencias siguiente.

Frecuencias relativas

0.25 8

9 Totales:

Datos

19 Representa los datos de la tabla en una gráfica

El color del pelo de un grupo de estudiantes.

¿Cuál es la frecuencia relativa de B y D?

Los porcentajes de asistencia a clases.

Datos

¿Cuál es la frecuencia total de los datos de la muestra?

La clase de música preferida por los adolescentes.

Frecuencias absolutas

20 Reúne los datos en 5 clases y, luego, construye

una tabla de datos agrupados. 1, 4, 4, 2, 1, 1, 1, 5, 4, 3, 3, 1, 2, 1, 2, 0.20

2, 1, 4, 8, 5, 1, 3, 5, 1, 2, 4, 4, 9, 2, 3.

20 21 Calcula la media aritmética de los datos de la

16 Lee y, luego, haz lo que se te pide.

Un grupo de 15 estudiantes fue cuestionado acerca del número de veces que va a la playa en un mes. Sus respuestas fueron las siguientes:

actividad anterior, primero, sin agruparlos y, luego, con ellos agrupados. ¿Cuál es el error de agrupamiento? ¿Cómo se reduciría este error?

1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 3 Construye una tabla de frecuencias absolutas y relativas con los datos anteriores.

22 Determina la desviación media de los datos re-

presentados en la gráfica siguiente.

Escribe las frecuencias relativas como porcentajes y verifica que estos suman 100%.

17 Construye, en tu cuaderno, una gráfica de barras

con los datos de la actividad anterior. 1

170

Datos

Competencias fundamentales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 23 Lee y reflexiona antes de responder.

25 Encuentra el dato faltante.

La profesora pidió a los estudiantes que copiaran una tabla de frecuencias relativas de un conjunto de datos. Mayra se distrajo y olvidó escribir uno de los datos de la tabla. Se dio cuenta cuando la tabla ya había sido borrada de la pizarra, pero escuchó a la profesora decir que la media aritmética de los datos era 6.90. Para evitar accidentes, la administración de un hotel hizo colocar en una laguna un letrero que dice: Profundidad promedio 2 metros. Un cliente del hotel de 1.9 metros de estatura, ¿correrá necesariamente peligro en cualquier lugar de la laguna? Apoya tu respuesta con un ejemplo 24 Resuelve el problema y, luego, socializa el pro-

cedimiento que usaste para resolverlo.

La tabla que copió Mayra es la siguiente: Datos fr

….

0.2

0.3

0.25

0.15

0.1

¿Cómo ayudarías a Mayra a completar su tabla? 26 Piensa y, luego responde.

¿Qué valor de x hace que, en la siguiente muestra de datos, la media aritmética, la moda y la mediana sean iguales? x , 8 , 2 , 5. 27 Lee y, luego, determina lo que se te pide, a

partir de la gráfica En el periodo 2015-2016 una región pesquera capturó 50 000 toneladas de pescados y mariscos, distribuidas como muestra la gráfica. Una organización no gubernamental (ONG) dedicada a programas de salud comunitaria visitó una población de 6 000 habitantes, repartidos, según grupos de edad, como sigue: 3 000 habitantes de hasta 18 años; 2 100 con edades mayores de 18 años y menores de 65 años y 900 con 65 años y más. ¿Cómo deberá elegirse, para ser encuestada, una muestra de 500 habitantes de la población, tomando en cuenta que los representantes de los grupos de edad deben estar presentes en la misma proporción en dicha muestra que en la población?

Pescados, 44% Otros, 3% Lambíes y almejas, 25% Langostas y camarones, 28%

¿Cuántas toneladas de pescado se capturaron en el período 2015-2016? ¿Cuántas toneladas menos de langostas y camarones que de pescados se capturaron?

171

EVALUACIÓN Comunica

Usa algoritmos

28 Expresa la siguiente información usando los

33 Construye la gráfica circular equivalente a la

términos de la estadística mostrados abajo. Población

Muestra

Frecuencia

En una comunidad suburbana de 800 habitantes, de 50 de los seleccionados para una encuesta sobre el uso de la Internet, 28 dijeron que la usaban siempre; 14, que la usaban a veces y 8, que nunca la usaban.

siguiente gráfica de barras.

f 800 625

600 400 450

200

125

29 Describe lo que muestra la siguiente gráfica.

34 Calcula la media ponderada de los datos de la

actividad 30.

20 15

35 Obtén el porcentaje de presencia de cada dato.

• De un total de 1 000 viviendas escogidas al azar, 75 tienen más de tres baños; 150 tienen tres baños; 325 tienen dos baños y 450 tiene un baño.

5 Chinola

Coco

Mango

Helados preferidos

30 Representa los datos siguientes en una tabla de

frecuencias. 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 3 , 2 , 2 , 5 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 1, 2 , 1, 1 , 1 , 3 , 4 , 1 , 5 , 5 , 5 , 3 , 8 , 2 , 3 , 1.

36 Calcula la media aritmética de los datos agru-

pados, a partir de la tabla. Grupos

[1, 4[

[4, 7[

Frecuencia

[7, 10[ [10, 13] 12

Razona y argumenta 31 Piensa y, luego, responde. Explica por qué res-

pondiste como lo hiciste.

Conecta 37 Obtén la desviación media de los gastos de

energía eléctrica de una vivienda mostrados en el siguiente histórico de consumos. kWh

800

• ¿Qué clase de variable está representada en la siguiente gráfica?

600

550

600

650

700

400 1

x 200

32 Piensa y, luego, responde.

172

Meses

• Dada una muestra de dos valores distintos, x e y, con y > x, ¿su media aritmética varía si ambos valores aumentan h unidades?

Resolución de problemas

• ¿Ocurre lo mismo con su rango?

38 Construye un problema a partir la gráfica anterior.

Medición de logros.

39 Estudio de caso. Lean el texto y, luego, organizados en grupos,

hagan lo que se les pide. El estado de los servicios públicos, la seguridad, limpieza del entorno y las diversas clases de contaminación son algunos de los problemas en las comunidades donde vivimos. Como ciudadanos, debemos mantenernos vigilantes frente a los problemas que nos afectan y contribuir a resolverlos. • Construyan un listado con los temas que podrían ser de interés para una encuesta en su comunidad, fijen la población, el número de personas a encuestar (muestra) y las preguntas que incluirán en la encuesta. • Tomen una semana para cuestionar a las personas de la muestra escogida y, una vez concluida, reúnanse para recoger y analizar las respuestas obtenidas. • Presenten un informe con los resultados conseguidos y debatan en forma entusiasta, en el curso, alguna de las posibles soluciones a los problemas contemplados.

40 Piensa y, luego, responde.

• ¿Cómo es el tránsito en la ciudad donde vives? • ¿Ves relación entre el desorden vehicular y una deficiente cultura de convivencia ciudadana? • ¿Qué valores deben promoverse para solucionar el problema?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 41 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Identifico y uso los conceptos básicos de la estadística. • Construyo distintas clases de gráficas estadísticas. • Calculo valores medios de una muestra. • Calculo la dispersión de una muestra. 42 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Cuáles de los temas estudiados en la unidad te parecieron de mayor importancia? ¿Por qué? • ¿Puedes describir en el grupo la importancia sociopolítica y económica de la estadística?

173

Probabilidades

Punto de partida El azar siempre intrigó al ser humano. Inspiró, por un lado, temor a lo desconocido y, por el otro, esperanzas de ser favorecido por algún golpe de suerte. Desde la más remota antigüedad, los humanos jugaban con el azar. Los dados más antiguos de que se tienen noticias datan de unos 5 000 años. Se sabe que se utilizaron dados en el antiguo Egipto; y entre los griegos y romanos eran empleados en los juegos por las clases pudientes. Luz leía con sumo interés, puso a un lado el libro, se acomodó en el sillón y pensó: — ¿El azar está sujeto a leyes? El azar y los juegos con los que se asocia empezaron a ser objeto de estudio en el siglo XVII. En la actualidad, el azar es objeto de estudio del Cálculo de Probabilidades, una rama de las matemáticas que ha alcanzado un gran desarrollo y tiene múltiples aplicaciones.

Conceptos y procedimientos Experimentos determi-

nistas y aleatorios. Probabilidades clásica

y empírica. Eventos unión

e intersección. Eventos compatibles

e incompatibles. Actitudes y valores Valorar la salud física,

mental y social. Apreciar una vida

alegre y plena.

¿Cómo puede estudiarse el azar? ¿Qué responderías ante la pregun-

ta de Luz?

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Has escuchado la expresión juegos de azar? ¿Qué significado tiene para ti esta expresión? ¿En cuáles juegos está presente el azar? ¿Qué fenómenos de tu entorno están relacio-

nados con el azar?

174

OBSERVACIÓN ¿Qué muestran las ilustraciones de esta doble página? ¿Estas ilustraciones te recuerdan alguna situación en la que

hayas estado presente?¿Cuál? ¿Puedes mencionar algunos juegos de azar de uso genera-

lizado en tu comunidad? ¿Puede provocar daños la afición exagerada a esta clase de

juegos? ¿Cuáles daños?

175

EXPERIMENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. • ¿Has jugado alguna vez empleando monedas o dados lanzados al aire? • ¿Puedes saber el resultado de la tirada de un dado o una moneda, antes de que caigan?

1 Experimentos deterministas y aleatorios Un experimento determinista es una prueba cuyo resultado puede ser conocido de antemano. Los hechos de un experimento determinista se llaman eventos deterministas o causales.

Son experimentos deterministas los siguientes: Si se levanta del suelo una roca, esperamos con seguridad

que, al dejarla de sostener, la roca caerá y regresará al suelo. Si colocamos sobre una hornilla encendida una cazue-

la llena de agua, al cabo de un tiempo el agua empezará a hervir. Un experimento aleatorio es una prueba cuyo resultado no puede ser conocido de antemano. Los hechos de un experimento aleatorio se llaman eventos aleatorios, no causales o de azar.

Son experimentos aleatorios los siguientes: Si se lanza una moneda al aire, el resultado que se con-

seguirá tras su caída no se conoce de antemano, podría ser cara o escudo. Si se extrae una carta de un mazo, no se sabe, antes de

extraerla, si se sacará un diamante, un corazón, un trébol o una pica. 2 Concepto de probabilidad La probabilidad de un suceso es una medida de la oportunidad de que ese suceso pueda ocurrir.

Al lanzar una moneda al aire, la probabilidad de obtener una cara (o un escudo) mide el chance que tenemos de conseguir dicho resultado. El cálculo de una probabilidad asigna un valor numérico a las expectativas puestas en un suceso. Dos eventos aleatorios son equiprobables si tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Los eventos cara y escudo que resultan del lanzamiento de una moneda son equiprobables. Esto es, una cara no tiene más chance de salir que un escudo. Los jugadores de cartas. Cuadro del pintor francés Paul Cézanne (1839-1906).

176

Al lanzar un dado, cualquier resultado, del 1 hasta el 6, tiene la misma probabilidad de salir que otro.

Reconoce experimentos deterministas y aleatorios.

3 Espacio muestral

MÁS INFORMACIÓN

El espacio muestral o de muestreo de un experimento aleatorio es la totalidad de los resultados o eventos posibles de dicho experimento.

Eventos seguros e imposibles Un evento que sabemos con seguridad que ocurrirá es seguro.

Para denotar al espacio muestral se utiliza la letra E.

Ejemplo:

Si se lanza una moneda al aire, el espacio muestral es el

conjunto formado por los dos resultados posibles, cara (C) y escudo (E):

El evento Obtener un número del 1 y 6 al lanzar un dado, es seguro. Un evento que sabemos con seguridad que no ocurrirá es imposible.

E = {C, E} Si se lanza un dado al aire, el espacio muestral es el con-

junto formado por los resultados 1, 2, 3, 4, 5 y 6:

Ejemplo: El evento Sacar un 7 al lanzar un dado, es imposible.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Los espacios muestrales pueden ser: Discretos, si sus elementos son numerables, esto es, si

pueden ser contados. El espacio muestral del experimento del lanzamiento de la moneda, E = {C, E}, es discreto, porque podemos marcar sus elementos, C y E, con los naturales 1 y 2: {C1, E2}. Continuos, si sus elementos no son numerables, esto es,

si sus elementos no pueden contarse. El espacio muestral de todas las estaturas posibles comprendidas entre 1.5 m y 2.0 m. En este caso no es posible contar el conjunto de todas las estaturas posibles, porque entre 1.5 m y 2.0 m hay incontables estaturas.

ACTIVIDADES 1 Escribe en tu cuaderno tres eventos de cada tipo.

Determinista.

Aleatorio.

Seguro.

Imposible.

2 Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.

A: Predecir si nacerá un

niño o una niña. C: Sacar de una funda bolas

numeradas del 1 al 3.

B: Elegir uno de los colores

rojo, verde, azul y amarillo. D: Lanzar un dado de 20 ca-

ras y anotar el resultado.

177

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RECUPERACIÓN Responde las preguntas. • ¿Has escuchado la expresión probabilidad de que ocurra, referida a alguna clase de evento? • ¿Qué significado le atribuyes a esa expresión? • ¿En cuáles situaciones la has escuchado?

1 Eventos más o menos probables

La probabilidad de un evento A puede ser comparada con la probabilidad de otro evento B. Esto es, es posible saber si un evento A es más, menos o igualmente probable que otro evento B. EJEMPLO RESUELTO: Comparar las probabilidades de los siguientes eventos aleatorios: A: Obtener un número menor que 3 al lanzar un dado. B: Obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado. En el caso del evento A, la expectativa está puesta en dos resultados, 1 y 2, todos menores que 3. Para el evento B, se tiene la esperanza puesta en cuatro resultados, 3, 4, 5 y 6, todos mayores que 2. Como la totalidad de resultados posibles está dada por el conjunto muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, la probabilidad de ocurrencia del evento B es mayor que la del evento A, porque en B hay cuatro resultados esperados en tanto que en A hay tres. La conclusión del ejemplo anterior puede ser visualizada en el esquema siguiente: E

E Evento A

Evento B

Hay más chance de conseguir un resultado del evento B que un resultado del evento A, porque B cubre una mayor área del espacio muestral, E, que A. Un evento seguro cubre todo el espacio muestral, porque los resultados esperados son todos los posibles. Si A es un evento seguro, entonces: A = E. Pierre-Simon Laplace.(1749-1827). Matemático y físico francés quien dedicó parte de su trabajo al cálculo de probabilidades.

178

Un evento imposible no cubre parte alguna del espacio muestral, porque ninguno de los resultados esperados forma parte de E.

Compara y calcula probabilidades de eventos.

2 Cálculo de probabilidades

MÁS INFORMACIÓN

La probabilidad de un evento e es el cociente del número de casos favorables, N(e), y el número total de casos posibles, N.

La probabilidad de un evento, e, se obtiene con la regla de Laplace: P(e) = Número de casos favorables a e, N(e) Número total de casos posibles, N Con la expresión anterior se obtiene la probabilidad clásica o teórica de un evento aleatorio e, también llamada probabilidad a priori, porque se calcula antes de realizar el experimento.

Valores de la probabilidad La probabilidad de un evento aleatorio e, es un número comprendido entre 0 y 1: 0 , P(e) , 1. Un evento seguro tiene una probabilidad 1 y un evento imposible, probabilidad 0.

EJEMPLOS RESUELTOS: Al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener una

cara (C) es 12 , porque hay solo un caso favorable al resultado cara, N(C) = 1 y hay N = 2 resultados posibles (C, E): P(C) = N(C)/N = 1/2.

La probabilidad de que salga un número cualquiera k,

al lanzar un dado es 16 , porque solo hay un caso favorable a la salida de dicho número, N(k) = 1 y N = 6 valores posibles, (1, 2, 3, 4, 5, 6): P(k) = N(k)/N = 1/6.

La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un

número k mayor que 2 es 46 = 23 , porque hay N(k) = 4 casos favorables, (3, 4, 5, 6) y N = 6 casos posibles: P(k > 2) = N(k > 2)/N = 4/6 = 2/3.

ACTIVIDADES 3 Resuelve los problemas.

• Se lanza al aire un dado octaédrico (ocho caras). ¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado 5? ¿Y un resultado par?¿Y un número menor que 7?

• Un curso tiene 15 estudiantes: 5 de 11 años, 6 de 12 y 4 de 13. ¿Qué probabilidad hay de elegir un estudiante de 12 años? ¿Y uno de 12 años o más?

4 Piensa y, luego, responde.

• La probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda es 12 . ¿Podría decirse con seguridad que si en dos lanzamientos, en el primero no se consiguió una cara, en el segundo sí se conseguirá?

179

FORMAS DECIMAL Y PORCENTUAL DE LAS PROBABILIDADES

1 Probabilidades como decimales y fracciones

RECUPERACIÓN Escribe las fracciones siguientes en forma decimal. 1 2

1 4

2 5

1 3

3 4

7 8

Escribe las fracciones en forma de porcentaje. 10 100

12 100

25 100

48 100

3 100

94 100

Un número decimal puede ser escrito en forma de porcentaje. Basta con multiplicarlo por 100 y colocar a la derecha del resultado el símbolo %. EJEMPLOS RESUELTOS: 0.50 = 0.50 x 100 = 50% 0.235 = 0.235 x 100 = 23.5% 0.78 = 0.78 x 100 = 78% 0.03 = 0.03 x 100 = 3%

Además de su forma fraccionaria, las probabilidades pueden ser escritas en formas decimal y porcentual.

Los procedimientos para escribir una probabilidad en forma decimal o porcentual son: Si se quiere expresar una probabilidad en forma decimal,

basta con dividir el numerador de su escritura en forma fraccionaria por su denominador. El decimal resultante es la expresión decimal de la probabilidad. Para expresar la probabilidad en forma de porcentaje, se

multiplica dicha probabilidad por 100. Si se quiere obtener de manera directa la probabilidad de un evento en forma decimal, basta con utilizar la siguiente expresión: P(e) = Número de casos favorables, N(e) x 100 Número total de casos posibles, N

EJEMPLOS RESUELTOS: ¿Cuál es la probabilidad, expresada en forma decimal,

de elegir al azar una bola verde del conjunto de bolas de la izquierda? Para este problema N(e) = 2 y N = 10, entonces: P(e) = 2 = 0.2. 10

¿Cuál es la probabilidad, expresada en forma decimal,

de elegir al azar una bola que no sea verde o roja? Aquí N(e) = 6 y N = 10, entonces: P(e) = 6 x 100 = 60%. 10

180

Escribe probabilidades en forma decimal o porcentual. Comprende la probabilidad experimental.

2 Probabilidad empírica

El enfoque experimental de la probabilidad de un evento aleatorio la define como el número al que se acerca la frecuencia relativa de ese evento conforme crece el número de experimentos. A la probabilidad así definida se llama probabilidad empírica o experimental. También se le llama probabilidad a posteriori, porque se determina después de realizados los experimentos aleatorios. Observa el cuadro en el que se muestra cómo cambia el número de escudos, conforme aumenta el número de lanzamientos de una moneda. Número de tiradas

Número de caras

A medida que aumenta el número de tiradas en cada experimento, la frecuencia relativa de las caras obtenidas se va acercando, con subidas y bajadas, al valor 0.5 que predice la probabilidad clásica. Experimento 1, con 10 tiradas: fr (E) = 6 /10 = 0.60. Experimento 2, con 20 tiradas: fr (E) = 7/20 = 0.35. Experimento 3, con 30 tiradas: fr (E) = 12/30 = 0.40. Experimento 4, con 40 tiradas: fr (E) = 22/40 = 0.55. Experimento 5, con 50 tiradas: fr (E) = 22/50 = 0.44. Experimento 6, con 60 tiradas: fr (E) = 25/60 = 0.42. Experimento 7, con 70 tiradas: fr (E) = 33/70 = 0.47.

fr (Cara)

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 10 20 30 40 50 60 70 Número de tiradas Las frecuencias relativas varían alrededor de 0.5, acercándose a este valor.

ACTIVIDADES 5 Calcula las probabilidades siguientes y exprésalas en forma decimal y porcentual.

• La probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado.

• La probabilidad de obtener un número menor que 6 al lanzar un dado.

6 Piensa y, luego, escribe tus consideraciones en el cuaderno. Comparte tus reflexiones.

• ¿Por qué es razonable, en los experimentos con la moneda, que la probabilidad experimental se acerque a la teórica a medida que aumenta el número de experimentos aleatorios?

181

EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOS

RECUPERACIÓN Piensa antes de responder. • ¿La probabilidad de obtener dos caras al lanzar dos veces consecutivas una moneda es menor, igual o mayor que la de obtener una cara en un solo lanzamiento?

1 Experimentos aleatorios simples y compuestos

Un experimento aleatorio simple es el realizado en una sola acción. Lanzar una moneda o un dado al aire son ejemplos de experimentos simples. Un experimento aleatorio compuesto está formado por más de un experimento simple. Lanzar varias veces consecutivamente una moneda o un dado son experimentos compuestos. Si se lanza una moneda dos veces seguidas, se obtendrá en la primera tirada o una cara (C) o un escudo (E). En la segunda tirada, los resultados serán, igualmente, o C o E. El espacio muestral del experimento compuesto de lanzar dos veces una moneda es: E = {CC, CE, EC, EE}. Si se tiran al mismo tiempo las dos monedas, el espacio muestral es también E = {CC, CE, EC, EE}. Esto muestra que lanzar una moneda tres veces consecutivas equivale a lanzar dos monedas al mismo tiempo. 2 Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un dispositivo gráfico para analizar experimentos aleatorios compuestos. Un diagrama de árbol se va complejizando conforme se van realizando más experimentos aleatorios EJEMPLOS: Construir el diagrama de árbol del experimento de

lanzar dos veces una moneda. 1.a tirada

2.a tirada C

C E C E E Los segmentos que unen dos resultados son ramas del árbol. La parte coloreada del diagrama es un camino. Un camino está compuesto de ramas. En el diagrama anterior hay 4 caminos.

182

Construye diagramas de árbol y calcula con ellos probabilidades.

3 Probabilidades de eventos compuestos

INTELIGENCIA COLABORATIVA

En el experimento: Tirar dos veces una moneda solo hay un chance de que la moneda caiga cara dos veces seguidas, CC, de entre cuatro resultados posibles (CC, CE, EC, EE). La probabilidad de obtener dos caras, CC, en el experimento de la moneda lanzada dos veces es: P(CC) = Número de casos favorables al evento CC = 1 4 Número total de casos posibles Esta probabilidad se obtiene con un diagrama de árbol. EJEMPLO RESUELTO: Determinar en el siguiente diagrama de árbol la pro-

babilidad de obtener dos caras, CC, al lanzar dos veces consecutivas una moneda. C 1/2 1/2

1/2

C 1/2

1/2

Cálculo de probabilidades Reúnanse en grupos y calculen las probabilidades de los siguientes eventos compuestos, usando la regla de Laplace. • Obtener una sola C al tirar dos veces una moneda. • Obtener por lo menos una E al tirar dos veces una moneda. • Obtener más de una C al tirar tres veces una moneda. Comparen sus resultados con los obtenidos por los demás grupos y discutan las diferencias, si las hubiere.

La probabilidad de obtener el resultado CC es el producto de las probabilidades de las dos ramas del camino coloreado: P(CC) = 1 x 2

= 1 4

Fíjate que el resultado obtenido con la regla de Laplace y el diagrama de árbol son coincidentes. La probabilidad de un evento de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas.

ACTIVIDADES 7 Escribe el espacio muestral de los experimentos compuestos siguientes.

• Lanzar tres veces consecutivas una moneda.

• Lanzar primero una moneda y luego un dado.

• Lanzar dos veces seguidas un dado.

8 Calcula las probabilidades mediante un diagrama de árbol.

• De obtener tres caras al lanzar tres veces consecutivas una moneda.

• De obtener dos resultados 5 al lanzar dos veces un dado.

183

OPERACIONES CON EVENTOS ALEATORIOS

RECUPERACIÓN Piensa antes de responder. • ¿Tienen algún resultado en común los siguientes eventos A y B, relacionados con el lanzamiento de un dado? A: Obtener un resultado menor que 3. B: Obtener un resultado mayor que 2. • ¿Cuál o cuáles son estos resultados comunes?

1 Unión e intersección de eventos La unión de dos eventos aleatorios, A y B, es la reunión de los resultados, comunes y no comunes, de ambos eventos.

La unión de los eventos A y B se representa: A < B. Al resultado de A < B se llama evento unión. EJEMPLO RESUELTO: Obtener la unión de A: Obtener un número par al lan-

zar un dado y B: Obtener un número mayor que 3 al lanzar un dado. Los eventos de A son los resultados pares: {2, 4, 6} y los eventos de B, son todos los resultados mayores que 3: {4, 5, 6}. Hay dos eventos comunes a A y a B, los resultados 4 y 6, y tres eventos no comunes, los resultados 4 y 5. El evento unión, A < B, es: { 2, 4, 5, 6}. Si los eventos se representan por figuras cerradas, la gráfica del evento unión de A y B es la siguiente: 2

4 6

La intersección de dos eventos aleatorios, A y B, es la reunión de los resultados comunes de ambos eventos La representación gráfica de un evento unión o intersección mediante figuras cerradas se llama diagrama de Venn.

La intersección de los eventos A y B se representa: A > B. Al resultado de A > B se llama evento intersección. EJEMPLO RESUELTO: Determinar la intersección de los eventos C: Obtener

un número primo al lanzar un dado y D: Obtener un número menor que 5 al lanzar un dado. Los eventos de C son los resultados pares: {2, 3, 5} y los eventos de D, son los resultados menores que 5: {1, 2, 3, 4}. Los eventos comunes a C y D son los resultados 2 y 3. El evento intersección, C > D, es: {2, 3}. C>D C

184

2 3

1 4

Realiza operaciones de unión e intersección de eventos.

3 Probabilidades de la unión e intersección

MÁS INFORMACIÓN

de eventos La probabilidad del evento intersección, P(A > B), se obtiene utilizando la regla de Laplace.

EJEMPLO RESUELTO: Determinar la probabilidad la intersección de los

eventos relativos al lanzamiento de un dado: A: Obtener un número menor que 5 y B: Obtener un número mayor que 3. Como A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}, entonces: A > B = {4}. Luego, aplicando la regla de Laplace: P(A > B) = 1/6. Si P(A) y P(B) son las probabilidades de los eventos A y B, la probabilidad de su unión, P(A < B), se obtiene con: P(A < B) = P(A) + P(B) – P(A > B). La probabilidad de un, P(A < B), es la suma de las probabilidades de los sucesos A y B, menos la probabilidad de su intersección, P(A > B).

EJEMPLO RESUELTO: Determinar la probabilidad de que, al lanzar un dado,

Eventos compatibles e incompatibles Dos eventos, A y B, son compatibles si tienen algún resultado común, y son incompatibles, si no tienen resultados comunes. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, los eventos A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5, 6} son compatibles. En cambio, los eventos C = {1, 2, 3} y D ={4, 5} son incompatibles. Dos eventos, A y B, son contrarios, cuando son incompatibles y, además, la suma de sus probabilidades es 1: P(A) + P(B) = 1. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, los eventos M ={1, 2, 3} y N ={4, 5, 6}, son contrarios porque, además de ser incompatibles, se verifica que: P(M) + P(N) = 1.

se obtenga un número impar o un número primo. Aquí: A: Obtener un número impar. B: Obtener un número primo. El evento A está constituido por los resultados {1, 3, 5}. Luego, P(A) = 3/6. El evento B está formado por {2, 3, 5}. Luego, P(B) = 3/6. El evento intersección es {3, 5}, luego, P(A > B) = 2/6. Entonces, la probabilidad de la unión de los eventos A y B es: P(A > B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6. ACTIVIDADES 9 Escribe la unión y la intersección de los eventos, C: Obtener al menos una cara al lanzar dos

monedas al aire número y D: Obtener solo un escudo al lanzar dos monedas al aire. 10 Explica por qué no son eventos contrarios, los siguientes resultados del lanzamiento de un dado,

A = {1, 2, 3} y B = {5, 6}.

185

ACTIVIDADES

11 Marca con X los experimentos aleatorios.

El número que saldrá con el premio de la lotería.

14 Calcula las probabilidades de obtener los si-

guientes resultados del lanzamiento de tres monedas al aire. Exactamente una cara. Al menos, una cara.

Obtener una cara o un escudo al lanzar una moneda.

Tres escudos. Exactamente dos escudos.

Acertar con el número con que termina una placa de un carro.

Como mínimo un escudo. 15 Resuelve los problemas. Expresa las probabili-

dades porcentualmente. Esperar a que un trozo de hielo se funda con el calor. Sacar una bola verde de una funda que contiene 3 bolas verdes, 5 azules y 2 rojas. 12 Escribe el espacio muestral y los eventos

favorables. Se lanzan tres monedas al aire y se esperan exactamente 2 caras. Se extrae de una funda un boleto de 10 numerados del 1 al 10 y se espera sacar un número impar. Se lanza primero una moneda al aire y luego un dado y se esperan una cara y un 6. Se lanzan dos dados al aire y se esperan sacar dos números iguales. Se lanzan dos dados y se espera que la suma de los números sea 5. 13 Piensa y, luego, responde las preguntas.

Una funda A tiene 3 bolas rojas, 2 azules y 1 verde y, una funda B, 2 bolas roja, 4 azules y 3 verdes. Se gana un premio si se saca de cualquiera de las fundas, en un solo intento, una bola verde. Si puedes tomar solo una de las fundas, ¿cuál elegirías para tener más chance de ganar? ¿En qué sustentaste tu elección?

186

En un salón de clases hay 25 estudiantes, 14 de los cuales son hembras. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir, al azar, sea una estudiante? ¿Y la probabilidad de que sea un estudiante? ¿Qué probabilidad hay de elegir un estudiante o una estudiante? En una escuela con 20 maestros, algunos hablan lenguas extranjeras, además del español. Hay 8 de ellos que hablan inglés, 2 que hablan francés y uno que habla inglés y francés. Si se elige un maestro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable solo el español? ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés, pero no francés? ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, pero no inglés? ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés o francés?

Competencias fundamentales.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 16 Resuelve el problema.

17 Piensa y, luego, responde.

Una fábrica de tornillos ha recibido quejas de una empresa que los utiliza. La queja consiste en que la longitud de los tornillos presenta variaciones que perjudican a los equipos electrónicos en cuya construcción se utilizan. Para comprobar lo atendible de la queja, la fábrica de tornillos tomó una muestra al azar de 50 de ellos, midió sus longitudes y construyó la siguiente tabla. El largo correcto de los tornillos es de 5 mm. Longitud

Frecuencia

< 5 mm

5 mm

> 5 mm

Total

Si las expectativas de obtener un tornillo de largo inadecuado son aceptables hasta un 5%, ¿cuántos tornillos no adecuados en una muestra de 50 unidades se aceptarían? ¿Cuántos tornillos de largo inadecuado se esperarían en un lote de 5 000 tornillos? Observa el diagrama de árbol de la prueba de sacar al azar, dos veces seguidas, un tornillo, sin regresarlo a la muestra y di por qué son esas las probabilidades de cada rama.

12 50

P1 P1 + P2 = 1.

Nudo P2

La probabilidad de que no llueva en una semana es de alrededor de un 23%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en esa semana? 18 Lee, observa la tabla y, luego, responde.

Usando la muestra como referencia, ¿qué expectativas hay de que al escoger un tornillo al azar este no tenga la longitud adecuada?

38 50

¿Por qué la suma de las probabilidades de cada una de las ramas que salen de un mismo nudo del árbol debe ser la unidad?

En un colegio, se preguntó a los estudiantes si estaban de acuerdo o no con la fecha que fue elegida por la dirección para disfrutar de un pasadía en el Jardín Botánico para celebrar el fin del año escolar. Para contestar las preguntas, utiliza la siguiente tabla en la que se muestran las respuestas dadas por los estudiantes. Sí

Total

Varones

110

Hembras

Total

142

200

¿Qué probabilidad hay de escoger al azar un estudiante que esté de acuerdo con la fecha? ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un estudiante al azar, se elija una hembra que no esté de acuerdo con la fecha?

37 49

Correcto

12 49

Incorrecto

38 49

Correcto

¿Cuál es la probabilidad de elegir, entre las hembras, una que no esté de acuerdo con la fecha?

11 49

Incorrecto

¿Y de elegir un varón, de entre todos los estudiantes, que esté de acuerdo con la fecha?

Correcto

Incorrecto

¿Qué probabilidad hay de escoger, entre los que están de acuerdo con la fecha, un varón?

187

EVALUACIÓN Comunica

Usa algoritmos

19 Haz lo que se te pide.

23 Calcula la probabilidad de los eventos A, B y C,

relativos a la actividad anterior.

• Describe un experimento aleatorio cuyo espacio muestral tenga tres eventos y di cómo calcularías la probabilidad de uno cualquiera de ellos.

• De obtener un número impar al sacar una tarjeta de la funda.

• Explica en qué consiste el principio de la equiprobabilidad.

• De obtener dos vocales fuertes al extraer dos bolas de la caja.

Razona y argumenta

• De obtener al menos una cara y un número menor que 5 al lanzar dos monedas y un dado.

20 Piensa antes de responder.

• ¿Por qué es correcta la siguiente afirmación?

24 Calcula las probabilidades siguientes.

La probabilidad P de cualquier evento está entre 0 y 1, incluyendo los valores 0 y 1.

El experimento consiste en sacar una bola de una tómbola, en la que hay 100 bolas numeradas del 1 al 100.

• ¿La afirmación anterior contradice a la afirmación del recuadro Más información de la página 179 de este libro? ¿Por qué?

• De que el número extraído sea mayor o igual que 30. • De que el número extraído termine en 0.

21 Demuestra con un diagrama de árbol que en un

experimento compuesto de N tiradas de una moneda, la probabilidad de obtener N caras seguidas es 2–N . NOTA: Calcula las probabilidades para que en N = 1, 2, 3,… tiradas se obtengan los resultados C, CC, CCC,… sucesivamente.

C C

E C E

C E C E C E C E

…… …… …… …… …… …… …… …… P(CCC … C) = 2–N …… N veces …… …… …… …… …… …… ……

• La probabilidad de que el número extraído esté comprendido entre 40 y 50. • De que el número extraído tenga dos cifras y las decenas sean mayores que las unidades.

Conecta 25 Si se deja caer una bola por el orificio superior,

¿cuál es la probabilidad de que llegue a cada compartimiento A, B, C, D y E?

22 Escribe el espacio muestral de los siguientes

experimentos aleatorios. • A) Sacar una tarjeta de una funda que tiene 5 tarjetas marcadas con los números 1, 3, 5 y 6. • B) Sacar simultáneamente dos bolas de una caja que contiene 5 bolas cada una con una vocal. • C) Lanzar al aire dos monedas y un dado.

188

• Comprueba que la suma de las probabilidades de que la bola caiga en cada compartimiento es igual a la unidad. ¿Por qué?

Medición de logros

26 Estudio de caso. Lean el texto y, luego, hagan lo que se les pide.

La probabilidad de un evento puede ser estimada mediante experimentos sucesivos. A medida que aumentamos el número de estos experimentos, la frecuencia relativa del evento esperado en cada uno de ellos varía en torno a un determinado valor y se acerca a este. Este valor es la probabilidad experimental de ocurrencia del evento. • Formen grupos de un máximo de 5 estudiantes y lancen una moneda tantas veces como se muestra en la tabla, anotando cuántas caras obtuvieron en cada conjunto de lanzamientos. Llenen la tabla. Número de lanzamientos, N

Número de caras obtenidas, n

…..

Frecuencias relativas, n/N

…..

• Hagan una gráfica poligonal con los datos de la tabla, tomando como modelo la gráfica de la página 181. • Respondan. ¿Se acercan las frecuencias relativas a 0.5? Comenten entre sí los resultados. 27 Responde las preguntas.

• ¿Cómo puede afectar a la salud mental o emocional la práctica continua de los juegos de azar? • ¿Qué daños a la economía personal o familiar puede provocar el juego compulsivo?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 28 Marca según tus logros.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Reconozco experimentos deterministas y aleatorios. • Calculo probabilidades y las expreso de distintas formas. • Comprendo la probabilidad experimental. • Construyo diagramas de árbol. 27 Reflexiona sobre tu aprendizaje.

• ¿Cuáles de los temas estudiados te parecieron más interesantes? • ¿Qué importancia le ves a esos temas que seleccionaste? • ¿Cómo aplicarías los conocimientos adquiridos en esta unidad en tu vida diaria?

189

PROYECTO II

Un extraño número llamado fi 1 ¿Qué es el número fi?

Después de π (pi), el llamado número de oro, número áureo o, simplemente, número fi, es tal vez uno de los números que más ha llamado la atención en la historia, por su misteriosa relación con la belleza de muchas formas de la naturaleza y del arte.

Observa el pentágono regular de la derecha. El número de oro es la relación entre la longitud de la diagonal, AC, de un pentágono regular y su lado, AB.

Fi no es un número racional, esto es no puede ser escrito como un decimal exacto o periódico. 2 La presencia de fi en la naturaleza

y en el arte El número fi está presente en muchas formas espirales como la de algunas conchas de moluscos. Si observas con atención el centro del girasol, notarás que en su diseño hay presente una combinación de espirales en sentidos opuestos que se acercan a un punto. El número de espirales en uno y otro sentido guarda relación con fi. En algunas proporciones entre partes del cuerpo humano se obtienen razones muy cercanas al número aúreo. El Partenón de Atenas, una obra de la arquitectura griega clásica, muestra una razón cercana a fi entre su anchura y su altura.

190

D fi = AC = AB

C 1 2

(1 + 5) ≈ 1.618033 …

Inteligencia colaborativa

SABER HACER

3 El número fi en un segmento de recta

El segmento AB estará dividido con razón áurea si se compone de otros dos segmentos, uno mayor de longitud a y otro menor de longitud b, y se cumple que la razón de la longitud total del segmento, a + b, y la de su parte mayor, a, es igual a la razón entre la longitud de la parte mayor, a, y la de su parte menor.

b a+b

Un rectángulo de base de longitud a + b y de altura de longitud a se llama rectángulo áureo. a+b

Construyan, en grupos, lo que se les pide.

a + b = a = 1.618033 … a b

Un rectángulo áureo siguiendo las instrucciones

y el modelo. • Traza un cuadrado ABCD sobre una hoja de papel cua-

driculado. Escoge un lado que tenga por longitud un número par de unidades.

• Ubica el punto medio P de la base del cuadrado y, des-

de P, traza un segmento hasta el vértice C. • Con radio PC y centro en P, traza un arco que corte a la

base prolongada en Q y une con un segmento al vértice A con el punto Q. El rectángulo ABRQ es el rectángulo áureo buscado. Compruébalo.

Un rectángulo áureo a partir de otro.

Den los pasos indicados. Un rectángulo áureo tiene la propiedad de que a partir de él se pueden construir incontables rectángulos áureos.

• Si ABCD es un rectángulo áureo, con centro en A y radio

AB, se traza un arco que corte al lado AD en un punto P.

• Luego, traza desde P un segmento perpendicular que

toque al lado BC en un punto Q. El rectángulo PQCD es otro rectángulo áureo. ¿Cómo lo compruebas? Hazlo. Comprueben, usando la calculadora, que la razón áurea

cumple con las siguientes propiedades. • Su cuadrado, fi2 y su recíproca, 1/fi, tienen la misma

parte decimal. • Su cuadrado, fi2, es el mismo fi aumentado en 1:

fi2 = fi + 1. Compartan y comenten los resultados obtenidos por los

distintos grupos. 191

Las matemáticas de la vida

Situación de aprendizaje A todos los estudiantes de la clase de Ciencias Naturales les pareció asombroso el video que mostró la diversidad de tamaños de los seres vivos: bacterias de dimensiones ínfimas comparten la biosfera con animales como las ballenas azules; plantitas apenas visibles pueblan los suelos junto a enormes secoyas. El tamaño y la estructura de los seres vivos se vincula a procesos de intercambio de materia y energía con el entorno. El enorme tamaño de algunos animales tropicales es un medio eficiente para perder calor a través de la piel y evitar así un sobrecalentamiento. Algunos, sin ser demasiado grandes, aumentan con el mismo fin la superficie de su piel mediante pliegues o carecen de pelo.

Conceptos y procedimientos Área y volumen de cuer-

pos geométricos. Simetrías y operaciones

de simetría. Determinación de la ra-

zón área/volumen. Identificación y traza-

do de ejes y planos de simetría. Actitudes y valores Valorar la diversidad

de los seres vivos. Apreciar un entorno

saludable.

¿Puedes mencionar otras solucio-

nes de los seres vivos para optimizar el intercambio de materia y energía con el medio?

RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS ¿Qué características comparten los seres vivos que los

diferencian de los no vivos? ¿Por qué es tan necesario para la vida el intercambio

de materia, energía e información con el medio? ¿Qué cosa llama tu atención cuando recorres los dis-

tintos niveles de organización de los seres vivos que habitan nuestro planeta?

192

OBSERVACIÓN ¿Qué clase de animales se muestran en las ilustraciones? ¿En cuáles entornos viven estos animales? ¿Qué ventajas pueden tener para ellos las dimensiones

que alcanzan? ¿Podría ser ventajoso para algunos animales tener

un menor tamaño? ¿Puedes dar razones?

193

LA RAZÓN SUPERFICIE/VOLUMEN DE UN CUERPO

1 Lee y, luego, haz lo que se te pide. A medida que aumenta el número de caras de un cuerpo geométrico, su volumen crece más rápidamente que la superficie que lo encierra; esto hace que el cuerpo ocupe más espacio cuanto menor es el cociente del área de su superficie y su volumen (A/V).

Para un volumen unitario, V = 1, el icosaedro ocupa más espacio que el tetraedro. El cociente A/V es menor en el icosaedro que en el tetraedro. Una esfera de volumen unitario es el cuerpo que deja menos espacio por llenar. La esfera es más compacta que cualquiera de los cinco sólidos regulares que se muestran a la derecha. La razón A/V de los cuerpos controla a múltiples fenómenos relacionados con el metabolismo.

Sólidos regulares. 1. Tetraedro. 2. Octaedro. 3. Cubo o hexaedro. 4. Icosaedro. 5. Dodecaedro.

Observa el ejemplo de la primera fila de la tabla y, luego, complétala. NOTA: l representa la longitud de la arista de cada poliedro regular. Poliedro regular

Área

Volumen

Tetraedro

1.732 l2

0.1179 l3

Cubo

6 l2

Octaedro

3.464 l2

0.471 l3

Dodecaedro

20.646 l2

7.663 l3

Icosaedro

8.66 l2

2.182 l3

Calcula las longitudes de las aristas de cada uno de los

Razón A/V 1.732 l2/ 0.1179 l3 = 14.69/l

A/V

poliedros regulares de la tabla, si todos tuvieran un volumen V = 1 cm3. Comprueba, sustituyendo los valores de l en cada una

de las razones A/V de la tabla, que las mismas disminuyen conforme crece el número de caras de los poliedros. Obtén el radio de una esfera de volumen igual al de los

poliedros de la tabla, V = 1 cm3 y, luego, calcula el valor de A/V para esta esfera. Compara el valor de A/V para la esfera con los de los poliedros. Representa gráficamente cómo varía la razón A/V con-

forme crece el número de caras de los poliedros.

194

Número de caras de los poliedros regulares.

Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos y sus razones.

2 Lee y, luego, haz lo que se te pide. Las células son verdaderas máquinas químicas en las que ingresan insumos para obtener energía a partir de ellos y se expulsan materiales de desecho al exterior. La entrada y salida de materia del cuerpo celular se hace a través de la membrana que la rodea. Cuanta mayor área tiene esta membrana, mayores son las posibilidades de realizar el intercambio de nutrientes o desechos. Para conseguir optimizar este intercambio, las células aumentan, creciendo el área de la superficie que las separa del medio. Pero no pueden crecer más allá del límite impuesto por la razón A/V: como el volumen crece más rápido que el área, la membrana llega a ser insuficiente para facilitar el intercambio adecuado al tamaño celular. El problema se enfrentó satisfactoriamente mediante la solución pluricelular que mantuvo una célula pequeña, aumentando considerablemente la superficie.

Célula animal. Su tamaño está comprendido entre unos cuantos micrómetros (10–6 m) y un metro, como es el caso de las células nerviosas, las neuronas.

Dibuja en tu cuaderno y, luego, escribe el nombre de las partes de la célula de la figura. Di qué funciones desempeñan en la célula las partes señaladas. Calcula el área de los siguientes organismos. NOTA: 1 μm (micrómetro) = 10–6 m = 10–3 mm;

1 nm (nanómetro) = 10–9 m = 10–6 mm. 0.75 mm

2.0

0.09 mm

20 nm

Responde. ¿Cuál es el volumen de cada uno de ellos? Obtén la razón A/V para cada uno de los organismos microscópicos.

3 Resuelve el problema.

Las células transportan nutrientes y desechos a través de su citoplasma. Si la velocidad con que una célula expulsa un desecho de su interior es de aproximadamente 10 μm/s, ¿en qué tiempo es expulsado un desecho metabólico del centro de una célula esférica que tiene un volumen de 3.5 x 10–4 mm3? 195

LAS SIMETRÍAS

1 Lee y, luego, haz lo que se te pide. Una simetría indica la característica de ciertas figuras de no modificarse al ser sometidas a determinadas transformaciones llamadas operaciones de simetría. El triángulo equilátero de la derecha permanece igual a sí mismo al trasladarse en una dirección o rotar ángulos de 120˚, 240˚ o 360˚. Las figuras simétricas tienen una enorme presencia en la naturaleza. El matemático Hermann Weyl destacó, hace más de seis décadas, que la presencia de simetrías en el mundo natural era el resultado de la presencia y la actuación de leyes matemáticas en la base de sus numerosos fenómenos.

Traslación de un triángulo equilátero. B

Rotación de un triángulo equilátero B

120º

Observa las letras siguientes y, luego, identifica una operación de simetría que las transforma en sí mismas.

2 Observa los cuerpos y la línea de puntos (eje de simetría) en cada caso y, luego,

responde la pregunta.

¿Cuántas rotaciones alrededor de la línea de puntos se necesitan

para que el cuerpo geométrico coincida consigo mismo?

Identifica y, luego, traza otro eje de simetría en cada figura. 196

Simetrías en el mundo natural. Dibujos del naturalista alemán Ernest Haeckel (1843-1919).

Identifica simetrías diversas en el entorno.

3 Lee con detenimiento el texto y, luego, haz lo que se te pide. Un cuerpo tiene simetría bilateral si hay un plano que corta al cuerpo en dos partes iguales y dispuestas de manera opuesta respecto a ese plano. Este plano se llama plano sagital.

En su desarrollo evolutivo, los seres vivos pasaron de ser generalmente asimétricos, a tener simetría radial o esférica y de aquí, a adoptar la simetría bilateral, la más avanzada clase de simetría que facilitó el movimiento en una dirección y contribuyó con la aparición de una cabeza que contendría al cerebro, los ojos y la boca. Se cree que en algún momento de la historia de la vida en la Tierra surgió un organismo hipotético, el urbilateria, con esta clase avanzada de simetría y de él descienden todos los seres vivos que la poseen, desde los gusanos marinos hasta el ser humano.

Simetrías. 1. Esférica. 2. Radial. 3. Bilateral.

Identifica la clase de simetría de los siguientes seres vivos y, en caso de haber simetría bilateral, traza una línea vertical por donde pasa el plano sagital.

4 Copia y, luego, traza un plano de simetría en cada cuerpo.

5 Observa el octaedro regular y, luego, responde. Si se toma la longitud de una arista como una unidad de medida,

¿cuál es el menor de los recorridos que nos lleva de P a Q? ¿Cuál es el mayor de esos recorridos? Identifícalo en la figura.

A D

Identifica tres caminos para ir de P a Q que necesiten para recorrerse 2 y 3 aristas.

Q 197

SABER HACER Comunica 1 Explica por qué son simétricas las figuras siguientes y qué clase de simetría tiene cada una.

Usa algoritmos 2 Calcula lo que se te pide.

El porcentaje del volumen del cilindro ocupado El porcentaje del volumen del cubo que llena la

por los dos conos.

mayor esfera que quepa en dicho cubo.

Modela y representa 3 Copia y, luego, construye los planos indicados en el cubo.

Dos planos que al cortar el cubo formen dos rectángulos

congruentes. Dos planos que al cortar el cubo formen dos rectángulos

no congruentes. Un plano que al cortar el cubo forme un triángulo equilátero.

Razona y argumenta 4 Observa el prisma de base rectangular y, luego, haz lo que se te pide.

2 cm

Copia el prisma y, luego, dibuja dos planos de simetría que sean per-

pendiculares entre sí.

4 cm

Dibuja dos planos de simetría que no sean perpendiculares entre sí. Piensa y responde. ¿Cómo compruebas, con los datos de la figura, que

los planos que trazaste son planos de simetría? 198

3 cm

SABER HACER

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 5

Lean el texto y, luego, formen grupos y hagan lo que se les pide. Los seres vivos hacen más eficientes las funciones de algunos órganos sin que sus volúmenes crezcan más allá de ciertos límites aceptables y lo hacen ramificando o plegando a dichos órganos: los bronquios están ramificados, las paredes del intestino delgado tienen vellosidades y el cerebro circunvoluciones, todo con el mismo fin: aumentar la razón área/volumen del órgano.

Llenen la siguiente tabla utilizando como referencia los ocho bloques de la figura de la derecha. Área

Volumen

A/V

Bloques unidos

24 cm2

8 cm3

3 1/cm

Bloques separados

48 cm2

8 cm3

6 1/cm

Pulmones humanos. Las ramificaciones bronquiales tienen el efecto de aumentar el área para un más eficiente transporte del oxígeno.

• Responde. ¿Cómo cambia la razón A/V cuando se divide el bloque original en 8 bloquecitos?

Construyan dos plantillas o redes, una del bloque entero y otra de uno de los 8 bloquecitos. Extiendan sobre el plano la primera red y 8 veces la segunda red y comparen las áreas de las dos figuras resultantes. ¿Qué comprueban?

¿Cómo juzgas tu trabajo con las actividades de esta unidad?

APRENDIZAJE AUTÓNOMO 6

Mide tu aprendizaje.

Iniciado

En proceso

Logrado

• Reconozco y clasifico cuerpos geométricos. • Calculo áreas y volúmenes de distintos cuerpos. • Comprendo y calculo la relación área/volumen. • Reconozco figuras simétricas y operaciones de simetría. • Trazo planos de simetría. • Aplico las matemáticas al estudio de la vida.

199

(Video) Core Workout for Climbers - Beginner Follow along Core training

L Mat 1 Sec SH - VSIP.INFO (2023)

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